开普勒三定律

引入

为什么行星绕太阳的轨道是椭圆，而不是正圆？

为什么行星靠近太阳时跑得快，远离时跑得慢？

为什么周期平方与半长轴三次方的比值对所有行星都相同？

开普勒三定律是从观测数据中总结出来的经验规律，牛顿后来用万有引力定律解释了它们。这条线索很典型：先有规律，再有原因。

正文

定义

开普勒三定律描述行星绕太阳运动的规律，是万有引力定律的实验基础。

第一定律（轨道定律）

行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

概念	含义
近日点	离太阳最近的点
远日点	离太阳最远的点
半长轴 $a$	椭圆长轴的一半
半短轴 $b$	椭圆短轴的一半
偏心率 $e$	$e=\sqrt{1-b^2/a^2}$，描述椭圆的扁平程度

偏心率决定了轨道的形状：

$e$	轨道形状	例子
0	正圆	近似：多数行星
0 < $e$ < 1	椭圆	行星、彗星
1	抛物线	逃逸轨道
> 1	双曲线	高速掠过

行星轨道偏心率都很小（地球约 0.017），所以近似为圆，但彗星可以非常扁。

第二定律（面积定律）

行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

$$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\text{常量}$$

这一定律的物理本质是角动量守恒：太阳引力沿径向，力矩为零，所以行星的角动量守恒。

推导：

$$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}{r}^2\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=\frac{L}{2m}=\text{常量}$$

推论：近日点距离小，速度必须大；远日点距离大，速度小。

位置	距离	速度
近日点	最小	最大
远日点	最大	最小

第三定律（周期定律）

行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比：

$$\frac{T^2}{a^3}=k$$

其中 $k$ 只与中心天体质量有关：

$$k=\frac{4{\pi }^2}{GM}$$

对太阳系所有行星，$k$ 相同（因为中心天体都是太阳）。

行星	半长轴（AU）	周期（年）	$T^2/a^3$
水星	0.387	0.241	1.00
金星	0.723	0.615	1.00
地球	1.000	1.000	1.00
火星	1.524	1.881	1.00
木星	5.203	11.86	1.00

这个比值的高度一致，是万有引力平方反比律的直接证据。

从圆轨道推导第三定律

对圆轨道，万有引力提供向心力：

$$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$$

整理得：

$$\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$$

这正是第三定律。椭圆轨道的情形把 $r$ 换成半长轴 $a$ 即可。

三定律的关系

定律	描述	对应物理原理
第一定律	轨道形状	万有引力与惯性
第二定律	速度变化	角动量守恒
第三定律	周期与距离	万有引力平方反比律

三定律合起来，完整描述了行星的运动学特征，牛顿的万有引力定律则给出了动力学原因。

常见误区

错误说法	问题
“行星轨道是正圆”	是椭圆，只是偏心率小
“太阳在椭圆中心”	在一个焦点上
“行星匀速运动”	速度随距离变化
“第三定律中的 $k$ 对所有系统相同”	只对同一中心天体相同

引出

如何从万有引力定律严格导出椭圆轨道？这需要解二体问题。

为什么第三定律的 $k$ 与中心天体质量有关？用它能否测量恒星质量？

双星系统中，两颗星都绕共同质心运动，第三定律如何修正？