微分积分基础

引入

平均速度只能给出一段时间的粗略结果，怎么求“某一瞬间”的速度？

已知加速度随时间变化，怎么反推出某个时刻的速度和位置？

为什么运动学里到处是导数和积分，而不是简单的乘除？

高中阶段处理的是匀变速运动，用 $v=v_0+at$ 就够了。但真实运动中加速度通常随时间或位置变化，这时必须用微分描述瞬时变化，用积分累加微小变化。微积分不是额外的数学装饰，而是从“平均”过渡到“瞬时”、从“瞬时”回到“总量”的唯一工具。

正文

定义

运动学中，微分用于求瞬时变化率（速度、加速度），积分用于由变化率累加得到总量（速度、位移）。

微分——瞬时变化率

速度是位置 $\vec{r}(t)$ 对时间 $t$ 的一阶导数：

$$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}(t)}{\mathrm{d}t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$

加速度是速度 $\vec{v}(t)$ 的一阶导数，也是位置 $\vec{r}(t)$ 的二阶导数：

$$\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\vec{r}(t)}{\mathrm{d}{t}^2}$$

积分——累积效应

速度由加速度积分得到。已知初速度 ${\vec{v}}_0$ 和加速度 $\vec{a}(t)$：

$$\vec{v}(t)={\vec{v}}_0+{\int }_0^t\vec{a}(t^{\prime })\mathrm{d}{t}^{\prime }$$

位移由速度积分得到。已知初位置 ${\vec{r}}_0$ 和速度 $\vec{v}(t)$：

$$\vec{r}(t)={\vec{r}}_0+{\int }_0^t\vec{v}(t^{\prime })\mathrm{d}{t}^{\prime }$$

微积分与匀变速公式的对应

匀变速直线运动中 $\vec{a}$ 为常量，把上面的积分式算出来就回到高中公式：

$$v=v_0+at,x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$

这说明高中公式只是微积分在“加速度恒定”这一特例下的结果。加速度不恒定时，必须回到积分式。

两类问题的解法

运动学问题分为两类，正好对应微分和积分：

类型	已知	求	方法
第一类	运动方程 $\vec{r}(t)$	速度、加速度	逐次求导
第二类	加速度 $\vec{a}(t)$ 及初始条件	速度、位置	逐次积分

第二类问题必须给出初始条件（${\vec{v}}_0$、${\vec{r}}_0$），否则积分常数无法确定。

引出

当加速度是位置或速度的函数（如空气阻力、弹簧振子），如何求解运动方程？

矢量积分与分量积分有什么区别？为什么通常要拆成 $x$、$y$、$z$ 三个方向分别积分？

这些工具在简谐振动的运动方程和动力方程中会直接用到。