直线的方程

引入

为什么直线的方程有五种写法？直接用一个不就行了吗？

点斜式不能表示垂直于 $x$ 轴的直线，那题目里碰到垂直线怎么办？

一般式 $Ax+By+C=0$ 里的 $A$、$B$、$C$ 有什么几何意义？

五种方程形式不是五个知识点，而是同一件事的五种表达。选择哪种形式，取决于题目给了什么条件。

正文

定义

直线上任意一点的坐标都满足的方程，称为这条直线的方程；反之，以这个方程的解为坐标的点都在这条直线上。

五种形式

形式	方程	已知条件	不能表示
点斜式	$y-y_0=k(x-x_0)$	一点 + 斜率	垂直直线
斜截式	$y=kx+b$	斜率 + $y$ 轴截距	垂直直线
两点式	$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$	两个不同点	与坐标轴平行的直线
截距式	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$	两轴截距（均非零）	过原点或与轴平行的直线
一般式	$Ax+By+C=0$	无特殊要求	无

点斜式

$y-y_0=k(x-x_0)$

由”斜率等于纵坐标差之比”直接变形而来。它是最常用的形式，但必须附加条件 $k$ 存在。

若直线过点 $(x_0,y_0)$ 且垂直于 $x$ 轴，则方程为 $x=x_0$，需要单独写出。

斜截式

$y=kx+b$

其中 $b$ 是直线与 $y$ 轴交点的纵坐标，称为纵截距。

截距不是距离。$b$ 可以为负，可以是零。这一点在截距式里同样成立：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 中的 $a$、$b$ 是截距，不是长度。

两点式

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

本质是”两点斜率相等”，即 $\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。写成连比形式是为了避免讨论 $x=x_1$ 的情形，但代价是 $y_2=y_1$ 或 $x_2=x_1$ 时失效。

截距式

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a\ne 0,b\ne 0)$

它表示在 $x$ 轴截距为 $a$、$y$ 轴截距为 $b$ 的直线。

截距式最大的问题是遗漏情况：过原点的直线截距为 $0$，不能写成这个形式；与坐标轴平行的直线只有一个截距，也不能。用截距式设方程时，必须单独讨论过原点和平行于坐标轴的情形。

一般式

$Ax+By+C=0(A、B\text{ 不同时为零})$

系数条件	直线的特征
$B\ne 0$	斜率 $k=-\frac{A}{B}$，纵截距 $-\frac{C}{B}$
$B=0$	垂直直线 $x=-\frac{C}{A}$
$A=0$	水平直线 $y=-\frac{C}{B}$
$C=0$	过原点

一般式的系数 $(A,B)$ 就是直线的法向量，方向向量为 $(B,-A)$。这使一般式在求距离、判断垂直时格外方便。

如何选择形式

题目给的条件	建议形式
一点 + 斜率	点斜式
两点	两点式，或先求斜率再用点斜式
两截距	截距式（注意排除过原点）
与已知直线平行/垂直	一般式或斜截式
含参数、需要讨论	一般式最稳

设方程的通用策略：若题目没有说明斜率是否存在，用一般式或”$x=x_0$ 与 $y-y_0=k(x-x_0)$“分类讨论。

特殊直线

情形	方程
过 $(x_0,y_0)$ 且垂直 $x$ 轴	$x=x_0$
过 $(x_0,y_0)$ 且平行 $x$ 轴	$y=y_0$
过原点且斜率 $k$	$y=kx$
$x$ 轴	$y=0$
$y$ 轴	$x=0$

常见误区

错误说法	问题
”截距就是距离”	截距有正负，可以是零
”点斜式能表示所有直线”	不能表示垂直直线
”两点式分母不用管”	分母为零时失效
”一般式必须化成斜截式才能用”	一般式本身就能判断平行垂直距离
”设 $y=kx+b$ 就涵盖了所有情况”	漏掉垂直直线

引出

一般式的系数为什么恰好是法向量？这与直线方程的向量形式有何关系？

含参数的直线方程，如何判断它恒过某个定点？

两条直线的交点个数，与方程组解的情况如何对应？

• 直线的倾斜角与斜率：方向与斜率的来源
• 直线的交点坐标与距离公式：直线间的相互关系
• 圆与方程：从一次到二次
• 坐标变换：方程形式随坐标系改变
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