funtion

引入

为什么数学里的 “function” 和英语中”功能”是同一个词？

中文的”函数”是谁翻译的，为什么用”函”这个字？

一个术语的译名，会影响我们对概念的理解吗？

正文

定义

function（函数）在英语中兼有”功能”与”函数”两义。这一词义的演变，记录了数学概念从”表达式”到”对应关系”的扩展过程。

词义的起点

funtion（现代拼写为 function）的日常含义是：

the natural purpose (of something) or the duty (of a person)

即”某物的天然用途”或”某人的职责”。计算机中的”函数”也有实现某种功能的意味，与这一层含义相通。

这不是巧合：数学中的函数确实在”执行某种转换”，输入一个值，输出另一个值，像一个有特定职责的装置。

术语的引入

词源

“function”一词由戈特弗里德·莱布尼茨在 1673 年的一封信中首次引入，用来描述与曲线上的点相关的量，如坐标或曲线的斜率。

时间	人物	贡献
1673	莱布尼茨	首次使用 “function” 一词
1698	约翰·伯努利	与莱布尼茨一致认为”代数和超越方式形成的量”可称为 $x$ 的函数
1718	约翰·伯努利	将”任何由变量和常数组成的表达式”视为函数
1734 前后	克莱罗、欧拉	引入符号 $f(x)$ 表示函数值

注意 1718 年的定义：“由变量和常数组成的表达式”。这是”函数即公式”的观点，只承认能用解析式写出的关系。

从”公式”到”对应”

后来的发展逐步放宽了这个限制：

阶段	函数的定义	局限
公式说	由变量与常数组成的表达式	无法描述分段、无解析式的关系
依赖说	一个量随另一个量变化	”变化”含义模糊
对应说	对每个 $x$ 有唯一的 $y$ 与之对应	需要明确集合
集合说	满足单值性的二元关系	现代标准定义

每一次放宽都是因为旧定义无法覆盖新的对象。狄利克雷函数（有理数取 $1$、无理数取 $0$）就无法用公式表示，但确实是函数。

中文译名的由来

中文的”函数”一词由清朝数学家李善兰译出。他与伦敦传道会传教士伟烈亚力合译《代微积拾级》，书中解释：

凡此變數中函（包含）彼變數者，則此為彼之函數

即：如果一个变量中”包含”另一个变量，那么这个变量就是另一个变量的函数。

字	含义	在译名中的作用
函	包含	表示”一个量中包含另一个量”
数	数量	表示研究对象是数

“函”取”包含”义，而不是今天常用的”信件”义。这个译名抓住了”$y$ 的取值由 $x$ 决定”这一层关系。

译名的影响

《代数学》和《代微积拾级》二书第一次将解析数学引入中国，影响很大，还经日本数学家翻译成日文在日本出版。之后中国又向日本学习，“解析""拓扑”等名词即源自日本的译名。

术语	来源
函数	李善兰译，取”包含”义
解析	经日本转译
拓扑	经日本转译

术语的旅行路线会影响理解：从英语到中文、或从英语经日文到中文，中间可能丢失原文的构词线索。了解词源，能部分补回这些线索。

常见误区

错误说法	问题
”函数就是公式”	公式只是表示方式之一
“‘函’是信件的意思”	古义为”包含"
"function 的数学义与日常义无关”	都源于”执行某种作用"
"函数定义从一开始就是集合对应”	经历了多次放宽
”译名不影响理解”	构词线索会影响直觉

引出

为什么”函数即公式”的观点会被放弃？

狄利克雷函数这样的对象，如何用集合语言严格定义？

还有哪些数学术语的译名保留了古义？

• 函数：现代定义与表示
• 复合函数：函数的运算
• 集合：现代定义的基础
• 数学基础：数学的语言与逻辑
• 数学：数学学科入口