逻辑用语

引入

一种严谨地描述因果关系以及精确界定范围的表述

正文

充分条件与必要条件

定义

描述两个陈述之间的条件关系或包含关系的术语.
我们把所有逻辑关系简化为：$p\Rightarrow q$.读作：若 $p$ 成立，则 $q$ 一定成立.其中 $p$ 为充分条件，$q$ 为必要条件.

关系类型	箭头方向	口语解释
充分不必要	$A\Rightarrow B$ 且 $B\nRightarrow A$	A能推B，B推不出A
必要不充分	$A\nRightarrow B$ 且 $B\Rightarrow A$	A推不出B，但B能推A
充要条件	$A\iff B$	A就是B，B就是A，完全等价
既不充分也不必要	$A\nRightarrow B$ 且 $B\nRightarrow A$	两个没什么必然关系

在集合中，有 $A\subseteq B$，则：$a\in A\Rightarrow a\in B$，其中 $a\in A$ 是充分条件，$a\in B$ 是必要条件

全称量词与存在量词

定义

全称量词 $\forall$ 描述集合内所有成员的性质或关系的论断结果
存在量词 $\exists$ 描述集合内至少一个成员的性质或关系的论断结果

全称量词 $\forall$

• 来源：All (所有) 的首字母倒过来写。
• 含义：所有的、任意一个、每一个、一切。
• 例子：$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$。对于所有的实数 $x$，它的平方都大于等于0。

存在量词 $\exists$

• 来源：Exist (存在) 的首字母反过来写。
• 含义：存在一个、至少有一个、有些、有的。
• 例子：$\exists x\in \mathbb{Z},x+2=3$。存在一个整数 $x$，使得 $x+2=3$。

原命题量词	否定后的量词	结论的变化
全称 ($\forall$)	存在 ($\exists$)	肯定 $\to$ 否定
存在 ($\exists$)	全称 ($\forall$)	肯定 $\to$ 否定

原命题：$\forall x\in \mathbb{R},x^2>0$ （所有的实数平方都大于0，这是假命题，因为 $0$ 是例外）
否定：$\exists x\in \mathbb{R},x^2\le 0$ （存在一个实数，它的平方小于等于 $0$，真命题）

引出

更复杂的命题：高阶数学证明方法（如反证法、归纳法）以及计算机算法逻辑（循环与判断语句）