结合能

引入

为什么原子核的质量小于组成它的质子和中子质量之和？

为什么轻核聚变和重核裂变都能释放能量？

为什么核力能克服质子之间的静电排斥？

原子核里的质子带正电，彼此强烈排斥。它们能挤在极小的空间里，说明存在一种比电磁力更强、但作用范围极短的力。结合能就是把核子拆开所需的能量，也是核能释放的度量。

正文

定义

结合能是把原子核完全分解为自由核子所需的最小能量。对应的质量差称为质量亏损。

质量亏损

原子核的质量总是小于其组成核子质量之和：

$$\Delta m=Z{m}_p+(A-Z)m_n-M_{\text{核}}$$

由质能关系 $\Delta E=\Delta m{c}^2$，质量亏损对应结合能：

$$E_b=\Delta m{c}^2$$

概念	含义
质量亏损 $\Delta m$	自由核子结合成核时减少的质量
结合能 $E_b$	与质量亏损对应的能量
比结合能 $E_b/A$	每个核子平均贡献的结合能

核力

核力（强相互作用）是核子之间的短程力：

特征	说明
强度	约为电磁力的 100 倍
作用范围	约 $10^{-15}\mathrm{m}$，超过后急剧衰减
饱和性	每个核子只与邻近核子作用
电荷无关	质子-质子、质子-中子、中子-中子作用相近

核力的短程性解释了为什么比结合能在大核处下降：核子数增多后，核的表面效应和质子间斥力逐渐占优。

比结合能曲线

比结合能随质量数的变化是理解核能的关键：

区域	质量数	比结合能趋势	结论
轻核	$A<20$	随 $A$ 增大而上升	聚变放能
中等核	$A\approx 56$（铁）	最高，约 $8.8MeV/$核子	最稳定
重核	$A>56$	随 $A$ 增大而下降	裂变放能

曲线在铁附近达到峰值，铁是最稳定的核素。这就是为什么：

• 轻核聚变向铁靠近，释放能量
• 重核裂变向铁靠近，释放能量
• 铁既不能通过聚变也不能通过裂变放能

聚变与裂变的能量来源

聚变：轻核结合成较重的核，比结合能增大：

$${}_{}^{}{}_1^2\mathrm{H}+{}_{}^{}{}_1^3\mathrm{H}\to {}_{}^{}{}_2^4\mathrm{He}+{}_{}^{}{}_0^1\mathrm{n}+17.6\mathrm{MeV}$$

裂变：重核分裂成中等质量的核，比结合能增大：

$${}_{}^{}{}_{92}^{235}\mathrm{U}+{}_{}^{}{}_0^1\mathrm{n}\to {}_{}^{}{}_{56}^{141}\mathrm{Ba}+{}_{}^{}{}_{36}^{92}\mathrm{Kr}+3{}_0^1\mathrm{n}+\text{约 }200\mathrm{MeV}$$

项目	聚变	裂变
原料	氢同位素	铀、钚
触发条件	极高温度	中子轰击
单位质量放能	更多	较少
产物放射性	较少	较多

两者放能的共同原因：产物更靠近比结合能峰值。

核能的量级

$1\mathrm{kg}$ 铀-235 完全裂变约释放 $8\times 10^{13}\mathrm{J}$，相当于约 2 万吨 TNT。

对比：

过程	单位质量释放能量
化学反应（煤燃烧）	$\sim 10^{7}J/kg$
核裂变	$\sim 10^{14}J/kg$
核聚变	$\sim 10^{14}$–$10^{15}J/kg$

核反应比化学反应大六到七个数量级，原因是核结合能比化学键能大约 $10^6$ 倍。

常见误区

错误说法	问题
“结合能越大，核越稳定”	应看比结合能
“质量亏损说明质量凭空消失”	质量转化为能量
“裂变和聚变都能放能，所以铁也能”	铁在峰值，两个方向都不放能
“核力是万有引力”	是强相互作用，强度大得多

引出

为什么比结合能峰值在铁附近？这与恒星核聚变的终点有关。

核裂变的链式反应如何维持？临界质量是什么？

为什么核聚变需要极高温度？库仑势垒如何被克服？