机械波

引入

为什么声音能在空气和水中传播，却不能在真空中传播？

把石子丢进水里，波纹向外扩散，水本身为什么没有跟着跑远？

为什么同一列波从空气进入水中，频率不变而波长改变？

波是振动的传播。振源在原地往复，介质质点也只在平衡位置附近振动，真正向外传递的是振动状态和能量，不是介质本身。

正文

定义

机械波是机械振动在介质中的传播过程。产生机械波需要波源和介质两个条件。

产生条件

条件	作用
波源	做机械振动，提供初始扰动
介质	通过质点间的相互作用传递振动

没有介质就没有机械波。真空中声音无法传播，但电磁波可以，因为电磁波不需要介质。

波的分类

按振动方向与传播方向的关系：

类型	振动方向	例子
横波	垂直于传播方向	绳波、电磁波、地震 S 波
纵波	平行于传播方向	声波、弹簧纵波、地震 P 波

按波面形状：

类型	波面	例子
平面波	平面	远处传来的声波
球面波	球面	点源发出的声波

描述量

量	符号	含义	由什么决定
波长	$\lambda$	相邻同相点之间的距离	波速和频率共同决定
周期	$T$	一个质点完成一次全振动的时间	波源
频率	$f$	单位时间内的全振动次数	波源
波速	$u$	振动状态传播的速度	介质

关系：

$$u=\lambda f=\frac{\lambda }{T}$$

频率由波源决定，波速由介质决定，波长随两者变化。换介质时频率不变，波速变，波长跟着变。

横波的特点

以横波为例，设振动沿 $y$ 方向、传播沿 $x$ 方向。介质质点只在 $y$ 方向振动，波沿 $x$ 方向推进。

这样“振动方向”和“传播方向”是两个垂直的方向，不能混为一谈。

波动方程

一维平面简谐波：

$$y=A\cos \left[\omega \left(t\mp \frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]$$

等价形式：

$$y=A\cos \left[2\pi \left(\frac{t}{T}\mp \frac{x}{\lambda }\right)+{\phi }_0\right]$$ $$y=A\cos \left(\frac{2\pi t}{T}\mp \frac{2\pi x}{\lambda }+{\phi }_0\right)$$

符号规则：

• “$-$”对应向右（$+x$ 方向）传播
• “$+$”对应向左（$-x$ 方向）传播

记忆方法：波向右传时，右侧质点的相位落后，所以 $x$ 项取负。

相位与相位差

距离波源 $x$ 处的质点，相位比波源滞后：

$$\Delta \phi =\frac{2\pi x}{\lambda }$$

两类相位差：

$$\Delta \phi =\{\begin{array}{ll}\omega \Delta t=\frac{2\pi \Delta t}{T}& \text{同一质点，不同时刻}\\ \frac{2\pi \Delta x}{\lambda }& \text{同一时刻，不同位置}\end{array}$$

第一类对应“时间延迟”，第二类对应“空间距离”。两者通过 $u=\lambda /T$ 相互转换。

波的能量

波传播时，介质质元同时具有动能和势能，且两者同相变化——同时达到最高、同时为零。这与单个简谐振子的能量转换（动能势能反相）不同。

平均能流密度（波的强度）：

$$I=\frac{1}{2}\rho u{\omega }^2{A}^2$$

其中 $\rho$ 为介质密度，$u$ 为波速，$A$ 为振幅。

强度与振幅平方、频率平方成正比。这说明同样振幅下，高频波携带更多能量。

通过面积 $S$ 的平均能流（功率）：

$$P=IS$$

波的反射与折射

波从一种介质进入另一种介质时，频率不变，波速改变，因此波长改变。

现象	条件	规律
反射	遇到界面	反射角等于入射角
折射	进入不同波速的介质	$\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{u_1}{u_2}$

介质的“波阻抗” $Z=\rho u$ 决定反射和透射的比例：

情形	结果
波阻抗差异大	大部分能量被反射
波阻抗接近	大部分能量透射

这就是为什么声音从空气进入水中时几乎全部反射——两者波阻抗相差约 3000 倍。

惠更斯原理与衍射

惠更斯原理：波前上每一点都可以看作新的子波源，这些子波的包络面构成新的波前。

用它可以解释：

现象	解释
波的传播方向	子波包络面的法线方向
衍射	波遇到障碍物后，子波绕到障碍物后方
反射与折射	各子波在界面处的传播速度不同

衍射的显著条件是障碍物尺寸与波长相当或更小。$\lambda$ 越大，衍射越明显，所以低音比高音更容易“绕墙”。

波的叠加与干涉

叠加原理：几列波在同一介质中传播时，任一点的位移等于各列波单独引起位移的矢量和。

产生稳定干涉的条件（相干条件）：

条件	说明
频率相同	否则相位差随时间变化
振动方向相同	否则只有平行分量干涉
相位差恒定	否则条纹不稳定

干涉加强和减弱条件（$\Delta r$ 为波程差）：

$$\Delta r=\{\begin{array}{ll}k\lambda & \text{加强（明纹）}\\ (k+\frac{1}{2})\lambda & \text{减弱（暗纹）}\end{array}$$

同一波源分成两列时，若其中一列在反射时发生半波损失（从波密介质反射），需额外加 $\lambda /2$。

驻波是干涉的特殊情形：两列振幅相同、方向相反的波叠加，形成波节和波腹固定不动的波形。

特征	说明
波节	振幅为零的位置
波腹	振幅最大的位置
相邻波节间距	$\lambda /2$

弦乐器的振动、管乐器的空气柱振动都是驻波。

多普勒效应

定义

多普勒效应是波源与观察者相对运动时，观察者接收到的频率与波源频率不同的现象。

设波源频率 $f_0$，波速 $u$，观察者速度 $v_o$（靠近波源为正），波源速度 $v_s$（靠近观察者为正）：

$$f=f_0\frac{u\pm v_o}{u\mp v_s}$$

符号规则：观察者靠近取 $+$，远离取 $-$；波源靠近取 $-$（分母变小，频率升高），远离取 $+$。

情形	接收频率
观察者靠近静止波源	升高
观察者远离静止波源	降低
波源靠近静止观察者	升高
波源远离静止观察者	降低
两者同向同速	不变

关键区别：观察者运动改变的是单位时间接收到的波数；波源运动改变的是波长。两者效果不同，公式中的位置也不同。

常见现象：

现象	说明
救护车驶过时音调骤降	靠近频率高，远离频率低
天文红移	星系远离，光谱向长波移动
测速雷达	通过反射波频移测车速

引出

波的干涉和衍射需要什么条件？

多普勒效应如何改变观测频率？

机械波和电磁波在传播机制上有什么本质区别？