刚体转动

$J = \frac{m r ^{2}}{2}$

$J = \frac{m l ^{2}}{12}$

$J = \frac{m l ^{2}}{3}$

$E_{k} = \frac{1}{2} J ω^{2}$

引入

定义

使刚体绕轴转动效果的物理量 ( $τ$ )，定义为 $τ = r F sin θ$ （或矢量形式 $τ = r \times F$ ），单位是 $N \cdot m$ 。

Image of Moment of Inertia of various shapes

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转动惯量，又称惯性矩，是刚体转动惯性大小的量度。它与刚体的质量分布和转轴位置有关。对于离散质点系 $I = \sum m_{i} r_{i}^{2}$ ，对于连续刚体 $I = \int r^{2} d m$ ，单位是 $kg \cdot m^{2}$ 。

刚体定轴转动定律 (牛顿第二定律的转动形式): 合外力矩 ( $\sum τ$ ) 等于转动惯量 ( $I$ ) 乘以角加速度 ( $α$ )，即 $\sum τ = I α$ 。 $1
角动量 ( $L$ ): 描述刚体转动状态的物理量，对于定轴转动 $L = I ω$ 。 $1
角动量定理: 合外力矩的冲量等于刚体角动量的变化， $\int τ d t = Δ L$ 。 $1
角动量守恒定律: 若刚体所受合外力矩为零，则其角动量保持不变，即 $L = I ω = 常数$ 。

转动动能 ( $E_{k}$ ): 刚体因转动而具有的动能， $E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2}$ 。 $1
总动能: 刚体作复杂运动时，其总动能等于平动动能和绕质心转动动能之和（柯尼希定理）： $E_{k} = \frac{1}{2} M v_{c}^{2} + \frac{1}{2} I_{c} ω^{2}$ （其中 $M$ 是总质量， $v_{c}$ 是质心速度， $I_{c}$ 是绕质心的转动惯量）。 $1
转动功: 力矩在角位移上所做的功， $W = \int τ d θ$ 。 $1
转动动能定理: 外力矩对刚体所做的总功等于刚体转动动能的增量， $\sum W_{τ} = Δ E_{k}$ 。

飞轮作为一种储存能量的机械装置，其核心就是利用其巨大的转动惯量 ( $I$ ) 来储存转动动能 ( $E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2}$ )，从而稳定机械系统的角速度（减小角速度 $ω$ 的波动）。

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