刚体转动

引入

为什么门把手装在离门轴远的一端，而不是靠近铰链？

同样质量的圆盘和圆环，为什么圆环更难转起来？

花样滑冰选手收臂后为什么转得更快？

刚体转动是平动理论的“旋转版”。牛顿第二定律的每个量都能找到对应物：力对应力矩，质量对应转动惯量，速度对应角速度。找到对应关系，公式就不用死记。

正文

定义

刚体是形变可以忽略的物体，即物体内任意两点间距离保持不变。刚体的定轴转动指刚体绕固定轴转动，轴上各点不动。

力矩

定义

力矩是使刚体绕轴转动效果的量度： $M=rF\sin \theta =|\vec{r}\times \vec{F}|$ 单位是 $\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$。

其中 $\vec{r}$ 是从转轴到力的作用点的位矢，$\theta$ 是 $\vec{r}$ 与 $\vec{F}$ 的夹角。

$r\sin \theta$ 称为力臂，即转轴到力的作用线的垂直距离。力臂越长，同样的力产生的力矩越大——这就是门把手装在外侧的原因。

力矩是赝向量，方向由右手定则确定，沿转轴方向。

转动惯量

定义

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度： $J=\sum m_i{r}_i^2\text{或}J=\int r^2\mathrm{d}m$ 单位是 $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$。

转动惯量取决于两个因素：

1. 总质量
2. 质量相对转轴的分布——离轴越远，转动惯量越大

这就是圆环比同质量圆盘更难转的原因。

常见刚体的转动惯量：

刚体	转轴	转动惯量
细杆（长 $l$）	过中心垂直杆	$\frac{1}{12}m{l}^2$
细杆（长 $l$）	过一端垂直杆	$\frac{1}{3}m{l}^2$
圆环（半径 $r$）	过中心垂直环面	$m{r}^2$
圆盘（半径 $r$）	过中心垂直盘面	$\frac{1}{2}m{r}^2$
实心球（半径 $r$）	过球心	$\frac{2}{5}m{r}^2$
薄球壳（半径 $r$）	过球心	$\frac{2}{3}m{r}^2$

平行轴定理：刚体绕任意轴的转动惯量

$$J=J_c+m{d}^2$$

其中 $J_c$ 是绕过质心平行轴的转动惯量，$d$ 是两轴距离。这解释了细杆从中心转到端点时，$J$ 从 $\frac{1}{12}m{l}^2$ 变成 $\frac{1}{3}m{l}^2$。

刚体定轴转动定律

牛顿第二定律的转动形式：

$$M=J\alpha$$

合外力矩等于转动惯量乘以角加速度。

平动	转动
$F=ma$	$M=J\alpha$
质量 $m$	转动惯量 $J$
速度 $v$	角速度 $\omega$
加速度 $a$	角加速度 $\alpha$
动量 $p=mv$	角动量 $L=J\omega$
动能 $\frac{1}{2}m{v}^2$	转动动能 $\frac{1}{2}J{\omega }^2$

这张对照表是解决转动问题的核心工具。遇到陌生公式，先找它在平动中的对应物。

角动量定理与角动量守恒

角动量：

$$L=J\omega$$

角动量定理（力矩的冲量等于角动量变化）：

$$\int M\mathrm{d}t=\Delta L$$

角动量守恒：合外力矩为零时，

$$L=J\omega =\text{常量}$$

花样滑冰选手收臂时 $J$ 减小，为保持 $L$ 不变，$\omega$ 必须增大，所以转得更快。这是角动量守恒最直观的演示。

转动动能与功

转动动能：

$$E_k=\frac{1}{2}J{\omega }^2$$

力矩做功：

$$W=\int M\mathrm{d}\theta$$

转动动能定理：

$$W_{\text{合}}=\Delta E_k=\frac{1}{2}J{\omega }_2^2-\frac{1}{2}J{\omega }_1^2$$

柯尼希定理：刚体做一般运动时，总动能等于质心平动动能加绕质心转动动能：

$$E_k=\frac{1}{2}M{v}_c^2+\frac{1}{2}{J}_c{\omega }^2$$

飞轮储能正是利用巨大的 $J$ 储存转动动能，同时稳定转速。

常见误区

错误	问题
“力矩大物体转得快”	力矩决定角加速度，不直接决定角速度
“转动惯量只与质量有关”	还与质量分布和转轴位置有关
“角动量守恒要求力矩为零”	是合外力矩为零，允许有力但力臂为零

引出

为什么细杆绕端点转动惯量是绕中心的 4 倍？

滚动问题中，平动动能和转动动能如何分配？

陀螺进动现象如何用角动量定理解释？