引力势能

定义

物体因为大质量物体的万有引力而具有的势能，其大小与其到大质量物体的距离有关

$$E_p=-\frac{GMm}{r}$$

推导

待完善

应用

卫星发射

在地表时，火箭刚发射的机械能 $E=-\frac{GMm}{R}$

目标轨道的机械能 $E_1=\frac{1}{2}m{v}_1^2+\left(-\frac{GMm}{r}\right)$

$$\begin{array}{c}\because v^2=\frac{GM}{r}\\ \therefore E_1=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}\end{array}$$

火箭从地面到目标轨道的机械能变化：

$$\begin{array}{rl}\ast \ast \ast \ast \Delta E& =E-E_1\\ & =-\frac{GMm}{2r}-(-\frac{GMm}{R})\\ & =\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{2r}\end{array}$$

火箭的变化机械能 $\Delta E$ 由动能转换而来，则火箭动能需要满足 $E_k\ge \Delta E$ 才能达到目标轨道

计算第二宇宙速度

第二宇宙速度为物体摆脱天体的最小速度，即要使引力势能无穷小。

已知第一宇宙速度为 $v_1=\sqrt{\frac{GM}{r}}$,由动能定理得：

$$\begin{array}{c}0-\frac{1}{2}m{v}_2^2=-\frac{GMm}{r}\\ v_2^2=\frac{2GM}{r}\\ v_2=\sqrt{2}{v}_1\end{array}$$

即第二宇宙速度为第一宇宙速度的 $\sqrt{2}$ 倍