库仑定律

引入

两个电荷之间的力，为什么随距离平方衰减，而不是线性衰减？

为什么库仑定律只适用于点电荷？

为什么说库仑定律是电磁学的“牛顿定律”？

库仑定律给出静电力的定量形式，是静电学所有推导的起点。它的形式和万有引力定律几乎一样，但一个是吸引或排斥，另一个只有吸引。

正文

定义

库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们电荷量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，方向沿两电荷的连线： $F=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}$

其中 $k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ 是静电力常量。

矢量形式

$${\vec{F}}_{12}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{12}^2}{\hat{r}}_{12}$$

其中 ${\hat{r}}_{12}$ 是从电荷 1 指向电荷 2 的单位矢量。

用这个形式可以自动处理正负号：

$q_1{q}_2$ 符号	力的方向
正	沿 $\hat{r}$，排斥
负	沿 $-\hat{r}$，吸引

适用条件

条件	说明
点电荷	带电体尺寸远小于距离
静止	电荷不运动，或运动很慢
真空	介质中需用介电常数修正
真空中	若在介质中，$k$ 改为 $1/(4\pi {ϵ}_0{ϵ}_r)$

对于均匀带电球体，外部电场等效于全部电荷集中于球心，所以也能用库仑定律，距离取球心距。

常量关系

$$k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$$

其中 ${ϵ}_0=8.85\times 10^{-12}{\mathrm{C}}^2/(\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2)$ 是真空介电常数。

使用 $4\pi {ϵ}_0$ 形式的好处是：高斯定理、麦克斯韦方程组中都自然出现这个组合，形式更统一。

与万有引力的对比

项目	库仑力	万有引力
表达式	$k{q}_1{q}_2/r^2$	$G{m}_1{m}_2/r^2$
常量	$k\approx 9\times 10^9$	$G\approx 6.67\times 10^{-11}$
方向	可吸引可排斥	只有吸引
强度	极强	极弱
屏蔽	可被导体屏蔽	不能屏蔽

两个质子的库仑斥力约为引力的 $10^{36}$ 倍。引力在天体尺度占主导，只是因为天体整体近似电中性。

多电荷系统

多个电荷对某电荷的作用力，按矢量叠加：

$$\vec{F}=\sum _i{\vec{F}}_i$$

叠加原理成立的前提是电荷分布不受其他电荷影响。在强场中，介质极化会改变分布，此时需要另行处理。

库仑扭秤实验

库仑用扭秤测量微小力，验证了平方反比关系。实验的核心是：

1. 用扭丝的扭转角度测量力矩
2. 通过改变电荷量和距离，测力的大小
3. 确认 $F\propto q_1{q}_2/r^2$

现代实验已验证平方反比偏差小于 $10^{-16}$，精度极高。

引出

电荷周围的空间如何描述？见电场。

介质中的库仑力为什么要除以介电常数？见介电常数与极化。

库仑定律在高速运动电荷情形下还成立吗？