双曲线

引入

把椭圆的”距离之和”改成”距离之差”，曲线会变成什么样？

为什么双曲线有两条分支，还有两条永远接近却不相交的直线？

为什么双曲线的离心率可以大于任意大的数，而椭圆不能超过 $1$？

双曲线是三种圆锥曲线中唯一有两支、有渐近线的曲线。它的标准方程与椭圆只差一个符号，但性质几乎处处相反。

正文

定义

平面内到两个定点 $F_1$、$F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（小于 $|F_1{F}_2|$ 且大于 $0$）的点的轨迹称为双曲线。

定义中的两个限制缺一不可：

条件	违背后果
差的绝对值小于 $	F_{1}F_{2}
常数大于 $0$	等于 $0$ 时轨迹是线段的垂直平分线

标准方程

焦点在 $x$ 轴上：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$

焦点在 $y$ 轴上：

$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

量	关系
实半轴	$a$
虚半轴	$b$
半焦距	$c^2=a^2+b^2$
焦点	$(\pm c,0)$ 或 $(0,\pm c)$

$c^2=a^2+b^2$ 与椭圆相反，所以双曲线中 $c$ 恒大于 $a$，离心率 $e=\frac{c}{a}$ 恒大于 $1$。

与椭圆的结构对比

项目	椭圆	双曲线
定义	距离之和为 $2a$	距离之差绝对值为 $2a$
关系式	$a^2=b^2+c^2$	$c^2=a^2+b^2$
离心率范围	$0<e<1$	$e>1$
图形	封闭曲线	两条分支
渐近线	无	有两条
与坐标轴交点	四个顶点	两个顶点（实轴）

统一记忆：椭圆中 $a$ 最大，所以 $a^2$ 等于另外两者之和；双曲线中 $c$ 最大，所以 $c^2$ 等于另外两者之和。

渐近线

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=\pm \frac{b}{a}x$

渐近线的来源：当 $x\to \infty$ 时，$\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-1\approx \frac{x^2}{a^2}$，故 $y\approx \pm \frac{b}{a}x$。即曲线在远处趋近于这两条直线。

方程	渐近线
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$y=\pm \frac{b}{a}x$
$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$	$y=\pm \frac{a}{b}x$

记忆方法：把方程右边的 $1$ 换成 $0$，即得渐近线方程。

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0\Rightarrow y=\pm \frac{b}{a}x$

离心率与形状

离心率	形状
$e\to 1^{+}$	开口很窄，接近两条射线
$e$ 增大	开口变宽
$e\to \infty$	开口接近 $180^{\circ }$

由 $e=\frac{c}{a}$、$c^2=a^2+b^2$ 得 $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$。所以离心率越大，渐近线斜率越大，开口越宽。

等轴双曲线

当 $a=b$ 时，方程为 $x^2-y^2=a^2$，渐近线为 $y=\pm x$，两条渐近线互相垂直，离心率 $e=\sqrt{2}$。

等轴双曲线可以写成 $xy=k$ 的形式（旋转 $45^{\circ }$ 后），这是反比例函数图像的几何本质——反比例函数的图像是等轴双曲线。

焦点三角形

设 $P$ 为双曲线上一点，$\angle F_{1}P{F}_2=\theta$，则

$S_{△F_{1}P{F}_2}=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$

与椭圆的 $b^2\tan \frac{\theta }{2}$ 相比，$\tan$ 跑到了分母。原因是双曲线用”差的绝对值”，余弦定理中的符号相反。

常见误区

错误说法	问题
”$a$ 一定是实半轴”	焦点的位置决定，需看标准方程
"$c^2=a^2-b^2$"	那是椭圆
”双曲线与渐近线有交点”	永不相交，只能无限接近
”离心率可以小于 $1$“	双曲线 $e>1$
“双曲线只有一支”	两支，由差的绝对值决定

引出

为什么反比例函数的图像是双曲线？旋转在这里起了什么作用？

当离心率恰好等于 $1$ 时，曲线会变成什么？

双曲线的参数方程与双曲函数有什么关系？

• 椭圆：定义与结构的对照
• 抛物线：离心率为 $1$ 的情形
• 圆与方程：二次曲线的起点
• 导数：用导数求渐近线的另一种思路
• 解析几何：解析几何的目录
• 数学：数学学科入口