椭圆

引入

把一根绳子两端固定在两点，用笔绷紧绕一圈，画出来的是什么曲线？

为什么行星轨道是椭圆，而不是正圆？“离心率”描述的到底是什么？

椭圆的标准方程里，为什么 $a^2=b^2+c^2$，而双曲线是 $c^2=a^2+b^2$？

椭圆是圆锥曲线的第一种。它与圆的区别只在于”到两点的距离之和”代替了”到一点的距离”，但这一个改动带来了焦点、离心率、准线等一整套结构。

正文

定义

平面内到两个定点 $F_1$、$F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $|F_1{F}_2|$）的点的轨迹称为椭圆。两个定点称为焦点，两焦点间的距离称为焦距。

标准方程

焦点在 $x$ 轴上：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$

焦点在 $y$ 轴上：

$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$

量	关系	说明
$a$	长半轴	恒有 $a>b>0$
$b$	短半轴
$c$	半焦距	$c^2=a^2-b^2$
焦点	$(\pm c,0)$ 或 $(0,\pm c)$	在长轴上
顶点	$(\pm a,0)$、$(0,\pm b)$

$a^2=b^2+c^2$ 的几何来源：椭圆上到短轴端点的距离等于 $a$（因为到两焦点距离之和为 $2a$，由对称性各为 $a$），而该点到中心的距离为 $b$、到焦点的距离为 $c$，构成直角三角形。

为什么椭圆的定义要求常数大于焦距

| 常数与 $|F_1{F}_2|$ 的关系 | 轨迹 | | --- | --- | | 大于 | 椭圆 | | 等于 | 线段 $F_1{F}_2$ | | 小于 | 不存在 |

这是定义中最容易被忽略的限制条件。题目给出”到两定点距离之和为 $2a$“，必须先确认 $2a>2c$。

离心率

定义

椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}$，范围是 $0<e<1$。

离心率	形状
$e\to 0$	接近圆
$e\to 1$	非常扁

离心率刻画的是”扁的程度”：$e$ 越大，$c$ 越接近 $a$，$b=\sqrt{a^2-c^2}$ 越小，椭圆越扁。

为什么用 $c/a$ 而不是 $b/a$？ 因为 $c/a$ 直接反映焦点偏离中心的相对距离，且与圆锥曲线的统一定义（到焦点与到准线距离之比）一致。这个统一定义在双曲线、抛物线中都适用。

几何性质

性质	内容
范围	$-a\le x\le a$，$-b\le y\le b$
对称性	关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称
顶点	四个
长轴长	$2a$
短轴长	$2b$
焦距	$2c$

焦点三角形

设 $P$ 为椭圆上一点，$\angle F_{1}P{F}_2=\theta$，则

$S_{△F_{1}P{F}_2}=b^2\tan \frac{\theta }{2}$

这个结论在求面积类问题中非常实用，因为 $b^2$ 是常数，只需知道顶角。

推导利用余弦定理与 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$：

$|F_1{F}_2{|}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2-2|P{F}_1||P{F}_2|\cos \theta$

代入 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$、$|F_1{F}_2|=2c$，解出 $|P{F}_1||P{F}_2|$，再代入面积公式 $S=\frac{1}{2}|P{F}_1||P{F}_2|\sin \theta$ 即得。

与直线的位置关系

联立椭圆方程与直线方程，消元得一元二次方程，用 $\Delta$ 判断：

$\Delta$	关系
$>0$	相交于两点
$=0$	相切
$<0$	相离

弦长仍用 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}$，与圆的公式同形——因为弦长公式只依赖直线的斜率和交点的横坐标差，与曲线类型无关。

常见误区

错误说法	问题
”$a$ 一定是长半轴”	需看焦点在哪个轴，标准方程中 $a$ 对应焦点所在轴
"$c^2=a^2+b^2$"	那是双曲线，椭圆是 $c^2=a^2-b^2$
“离心率越大越接近圆”	越大越扁
”定义中的常数可以是任意正数”	必须大于焦距
”焦点在 $x$ 轴上就看 $x^2$ 的系数大小”	看分母大小，分母大的对应焦点所在轴

引出

为什么焦点在哪个轴，由分母较大的那一项决定？

把”距离之和”改成”距离之差”，会得到什么曲线？

圆锥曲线的统一定义（到焦点与准线距离之比）如何统一三种曲线？

• 双曲线：距离之差的情形
• 抛物线：离心率等于 $1$ 的情形
• 圆与方程：椭圆的特例
• 直线的交点坐标与距离公式：弦长与距离
• 解析几何：解析几何的目录
• 数学：数学学科入口