抛物线

引入

抛出去的物体走的是抛物线吗？严格说，是不是？

为什么抛物线只有一个焦点，却有一条准线？

为什么卫星天线做成抛物面，而不是球面？

抛物线是三种圆锥曲线中离心率恰好等于 $1$ 的那一个。它没有两条分支，也没有渐近线，但有一个其他两种曲线不具备的性质：到焦点与到准线的距离恒相等。这条性质是所有光学应用的来源。

正文

定义

平面内到定点 $F$ 与到定直线 $l$（$F\notin l$）的距离相等的点的轨迹称为抛物线。$F$ 称为焦点，$l$ 称为准线。

四种标准方程

方程	开口方向	焦点	准线
$y^2=2px(p>0)$	向右	$\left(\frac{p}{2},0\right)$	$x=-\frac{p}{2}$
$y^2=-2px(p>0)$	向左	$\left(-\frac{p}{2},0\right)$	$x=\frac{p}{2}$
$x^2=2py(p>0)$	向上	$\left(0,\frac{p}{2}\right)$	$y=-\frac{p}{2}$
$x^2=-2py(p>0)$	向下	$\left(0,-\frac{p}{2}\right)$	$y=\frac{p}{2}$

$p$ 的几何意义是焦点到准线的距离，不是焦点坐标。焦点坐标恒为 $\frac{p}{2}$，这是最容易记错的地方。

为什么叫”标准”方程

四种形式的共同点是：顶点在原点，对称轴为坐标轴。只要把坐标系平移、旋转到合适位置，任何抛物线都能化成这四种形式之一。这就是 坐标变换 的作用。

定义与方程的一致性

以 $y^2=2px$ 为例验证。焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线 $x=-\frac{p}{2}$。设动点 $P(x,y)$，则

$\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$

两边平方并化简：

$x^2-px+\frac{p^2}{4}+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4}$

$y^2=2px$

这说明标准方程就是”到焦点距离等于到准线距离”的代数翻译。

焦半径

抛物线上一点 $P(x_0,y_0)$ 到焦点的距离称为焦半径。

对 $y^2=2px$：

$|PF|=x_0+\frac{p}{2}$

这个式子来自定义：到焦点的距离等于到准线的距离，而到准线的距离正是 $x_0+\frac{p}{2}$。

方程	焦半径
$y^2=2px$	$x_0+\frac{p}{2}$
$y^2=-2px$	$\frac{p}{2}-x_0$
$x^2=2py$	$y_0+\frac{p}{2}$
$x^2=-2py$	$\frac{p}{2}-y_0$

焦半径公式的价值：把”两点距离”转化为”一个坐标的线性表达式”，避免开根号。在焦点弦问题中，这个简化极其关键。

焦点弦

过焦点的弦 $AB$，设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，对 $y^2=2px$：

量	表达式
弦长	$
通径（垂直于对称轴的焦点弦）	$2p$

通径是最短的焦点弦，长度为 $2p$。这个结论可以用 $|AB|=x_1+x_2+p$ 与 $x_1{x}_2=\frac{p^2}{4}$ 推出。

若焦点弦的倾斜角为 $\theta$，则

$|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$

当 $\theta =90^{\circ }$ 时取最小值 $2p$，与通径结论一致。

光学性质

抛物面有一个关键性质：从焦点发出的光线经抛物面反射后，全部平行于对称轴射出；反之，平行于对称轴入射的光线，经反射后全部汇聚到焦点。

应用	利用的性质
卫星天线	平行入射的微弱信号汇聚到焦点处的接收器
汽车前灯	焦点处的光源反射成平行光束
太阳能灶	平行阳光汇聚到焦点产生高温
雷达	同天线

为什么不用球面？ 球面只能把平行光近似汇聚，存在球差：边缘光线与中心光线的焦点不重合。抛物面对平行光严格聚焦，没有球差。这是抛物面在光学中不可替代的原因。

常见误区

错误说法	问题
”焦点坐标是 $(p,0)$“	是 $\left(\frac{p}{2},0\right)$
”$p$ 是焦点到顶点的距离”	是焦点到准线的距离
”抛物线有渐近线”	没有，只有一条对称轴
”抛物线是抛体运动的精确轨迹”	忽略空气阻力时才是，实际是近似
”所有焦点弦长度相同”	通径最短，倾斜角越接近 $0$ 越长

引出

为什么通径是最短的焦点弦？能否用不等式证明？

抛物线的光学性质如何用微积分（法线方向）证明？

三种圆锥曲线能否用”到焦点与准线距离之比”统一定义？

• 椭圆：离心率小于 $1$
• 双曲线：离心率大于 $1$
• 圆与方程：二次曲线的起点
• 导数：用导数求切线，证明光学性质
• 解析几何：解析几何的目录
• 数学：数学学科入口