直线的倾斜角与斜率

引入

为什么直线方程里 $x$ 的系数可以为任意实数，而”斜率不存在”这件事必须单独讨论？

一条直线的倾斜角从 $0^{\circ }$ 变到 $180^{\circ }$ 时，斜率从 $0$ 变到 $+\infty$，再跳到 $-\infty$，这个跳跃是怎么产生的？

两点确定一条直线，为什么公式里要分母不能为零？

解析几何的基本思路是：用方程描述图形。直线是最简单的图形，它的方程形式取决于用什么量来刻画”方向”。

正文

定义

在平面直角坐标系中，当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，$x$ 轴正方向与直线向上方向之间所成的角 $\alpha$ 称为直线的倾斜角。当直线与 $x$ 轴平行或重合时，规定 $\alpha =0^{\circ }$。倾斜角的范围是 $[0^{\circ },180^{\circ })$。

斜率

定义

直线的斜率 $k$ 等于倾斜角 $\alpha$ 的正切值： $k=\tan \alpha (\alpha \ne 90^{\circ })$

当 $\alpha =90^{\circ }$ 时，直线垂直于 $x$ 轴，斜率不存在。

倾斜角 $\alpha$	斜率 $k$	直线特征
$0^{\circ }$	$0$	水平
$(0^{\circ },90^{\circ })$	$>0$	上升
$90^{\circ }$	不存在	垂直
$(90^{\circ },180^{\circ })$	$<0$	下降

“斜率不存在”不是”斜率为零”。前者对应垂直直线，后者对应水平直线，这是解析几何中最常见的分类错误来源。

过两点的斜率公式

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_1\ne x_2)$

分母 $x_2-x_1=0$ 时斜率不存在，正是垂直直线的情形。公式与 $\tan \alpha$ 的一致性来自：$\alpha$ 是直线方向与 $x$ 轴正方向的夹角，而 $\tan \alpha$ 恰为纵坐标差与横坐标差之比。

直线方程的五种形式

形式	方程	适用条件	局限
点斜式	$y-y_0=k(x-x_0)$	斜率存在	不能表示垂直直线
斜截式	$y=kx+b$	斜率存在	不能表示垂直直线
两点式	$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$	不与坐标轴平行	分母不能为零
截距式	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$	不与坐标轴平行、不过原点	适用范围最窄
一般式	$Ax+By+C=0$	所有直线	形式不直观

一般式是唯一没有例外的形式：$B\ne 0$ 时斜率 $k=-\frac{A}{B}$；$B=0$ 时为垂直直线。

做题时的策略：设方程优先用一般式或点斜式，但要记得分类讨论斜率是否存在。

平行与垂直

设 $l_1:y=k_{1}x+b_1$，$l_2:y=k_{2}x+b_2$：

关系	条件
平行	$k_1=k_2$ 且 $b_1\ne b_2$
重合	$k_1=k_2$ 且 $b_1=b_2$
垂直	$k_1{k}_2=-1$

用一般式表达更完整：

关系	条件
平行	$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ 且 $B_1{C}_2-B_2{C}_1\ne 0$
垂直	$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$

垂直条件的几何来源：两条垂直直线的方向向量 $(1,k_1)$、$(1,k_2)$ 数量积为零，即 $1+k_1{k}_2=0$。

倾斜角与斜率的单调性

$k=\tan \alpha$ 在 $[0^{\circ },90^{\circ })$ 和 $(90^{\circ },180^{\circ })$ 上分别单调递增，但在整个 $[0^{\circ },180^{\circ })$ 上不单调。

这带来一个实用结论：倾斜角越大，斜率不一定越大。例如 $\alpha =45^{\circ }$ 时 $k=1$，$\alpha =135^{\circ }$ 时 $k=-1$；角度变大了，斜率反而变小。

常见误区

错误说法	问题
”斜率不存在就是斜率为 $0$“	前者垂直，后者水平
”倾斜角越大斜率越大”	跨过 $90^{\circ }$ 后不成立
”两点式可以表示所有直线”	不能表示与坐标轴平行的直线
”截距式中的 $a$、$b$ 是距离”	是截距，可以为负
”平行只需斜率相等”	还需截距不等，否则重合

引出

为什么用”倾斜角的正切”而不是”倾斜角本身”来刻画方向？

直线的方向向量与法向量，如何对应到一般式的系数？

把直线放到极坐标或参数方程中，斜率的意义会怎样变化？

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• 直线的交点坐标与距离公式：直线间的度量
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