集合

引入

集合论属于一阶逻辑，是命题逻辑的扩展。

为什么”全体集合的集合”不是一个集合？

为什么集合的元素必须”互不相同”，重复写一次不算？

正文

定义

集合是一些不同的对象组合成的集体，其中的每个对象称为元素。

性质

1. 确定性：出现的每个元素都是明确的
2. 互异性：每个元素互不相同，即只出现一次
3. 无序性：元素的顺序无意义

性质	违反后果
确定性	无法判断某对象是否属于该集合
互异性	$\{1,1,2\}$ 与 $\{1,2\}$ 无法区分
无序性	$\{1,2\}$ 与 $\{2,1\}$ 会变成两个集合

三条性质不是”规定”，而是定义的自然结果。集合由”包含哪些元素”决定，与写法、顺序、重复次数无关。

表示方法

自然语言

用文字描述一个集合，如：衣柜里的每件衣服。

列举法

列出每个元素，用花括号包裹（在一些编程语言中也可这样定义数组），如：

$\{1,5,4,2\}$

表示一个包含 $1,2,4,5$ 的集合。

描述法

写出元素的共同特征，竖线前为代表元素，竖线后为特征条件，如：

$\{x\mid x>-3\}$

表示一个包含大于 $-3$ 的所有数的集合。

列举法适合有限集，描述法适合无限集。$\{x\mid x>0\}$ 无法列举，只能用描述法。

关系

元素与集合

元素 $a$ 出现在集合 $A$ 中，记为：$a\in A$，否则记为：$a\notin A$。

子集

如果集合 $A$ 的每个元素都在集合 $B$ 中出现，那么 $A$ 是 $B$ 的子集，记为：$A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$；如果不是，记为：$A⊈B$。

真子集

集合 $A$ 的每个元素都在集合 $B$ 中出现，且 $B$ 有 $A$ 中没有的元素，则 $A$ 是 $B$ 的真子集，记为：$A\subset B$ 或 $B\supset A$（另一种常见记法是 $A⫋B$）。

关系	记号	条件
子集	$A\subseteq B$	$A$ 的元素都在 $B$ 中
真子集	$A⫋B$	$A\subseteq B$ 且 $A\ne B$
相等	$A=B$	$A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$

空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集。这一点常被忽略。

相等

集合 $A$ 的每个元素与集合 $B$ 相同（无论顺序是否一致），记为 $A=B$。

运算

两个集合相交的元素：

$A\cap B=\{x\mid x\in A,\text{且}x\in B\}$

$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，则 $A\cap B=\{2,3\}$。

合并两个集合：

$A\cup B=\{x\mid x\in A,\text{或}x\in B\}$

$A=\{1,2\}$，$B=\{2,3\}$，则 $A\cup B=\{1,2,3\}$。

在全集 $U$ 的范围内，除了 $A$ 以外剩下的部分，称为补集，记作 ${\complement }_{U}A$。

全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，$A=\{1,2\}$，则 $A$ 的补集是 $\{3,4,5\}$。

运算	记号	对应逻辑
交	$\cap$	且
并	$\cup$	或
补	${\complement }_U$	非

集合运算与逻辑运算一一对应，这是”集合论是一阶逻辑的扩展”的具体表现。

运算律

律	式子
交换律	$A\cap B=B\cap A$，$A\cup B=B\cup A$
结合律	$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
分配律	$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
德摩根律	${\complement }_U(A\cap B)={\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$

德摩根律与逻辑中的量词否定是同一件事：“非（且）“等于”或（非）“。

常见集合

在数学中用字母定义了一些常用的集合：

符号	含义
$\mathbb{N}$	自然数集 $(0,1,2\cdots )$
$\mathbb{Z}$	整数集 $(\cdots ,-1,0,1\cdots )$
$\mathbb{Q}$	有理数集（分数、整数）
$\mathbb{R}$	实数集（数轴上所有的点）
$\mathbb{C}$	复数集

$\mathbb{N}$ 是否包含 $0$，不同教材有不同约定。使用时需明确，避免歧义。

常见误区

错误说法	问题
”$\{1,1,2\}$ 有三个元素”	互异性，只有两个
”空集不是任何集合的子集”	空集是任何集合的子集
”$A\subseteq B$ 说明 $A\ne B$“	可能相等
”补集不依赖全集”	补集必须指明全集
”集合可以包含自己”	会导致罗素悖论

引出

集合的本源思想来自于人类的分类本能，一种对事物的分类规则。

并不是所有东西都能随便组成集合。

上述提到的是朴素集合论，会产生罗素悖论（理发师悖论）的矛盾。为解决这类问题，建立了公理化的集合论，剔除一些逻辑陷阱的集合。

为什么”所有集合的集合”会引发矛盾？

公理化集合论如何避开罗素悖论？

• 区间：实数集的特殊子集
• 逻辑用语：集合运算的逻辑对应
• 函数：用集合定义函数
• 数学归纳法：自然数集上的证明
• 数学基础：数学基础的整体框架