集合

引入

集合论属于一阶逻辑，是命题逻辑的扩展

正文

定义

一些不同的对象组合成的集体，其中的每个对象称为元素.

性质

1. 确定性：出现的每个元素都是明确的
2. 互异性：每个元素互不相同，即只出现一次
3. 无序性：元素的顺序无意义

表示方法

自然语言

用文字描述一个集合，如：
衣柜里的每件衣服

列举法

列出每个元素，用花括号包裹.（在一些编程语言中也可这样定义数组），如：
$\{1,5,4,2\}$，表示一个包含 $1,2,4,5$ 的集合

描述法

写出元素的共同特征，竖线前为代表元素，竖线后为特征条件，如： $\{x|x>-3\}$，表示一个包含大于 $-3$ 的所有数的集合

关系

元素与集合

元素 $a$ 出现在集合 $A$ 中，记为：$a\in A$，否则记为：$a\notin A$

子集

如果集合 $A$ 的每个元素都在集合 $B$ 中出现，那么 $A$ 是 $B$ 的子集，记为: $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$ ,如果不是，记为：$A⊈B$

真子集

集合 $A$ 的每个元素都在集合 $B$ 中出现，且 $B$ 出现 $A$ 没有出现的元素，可称作真子集，记为：$A\subset B$ 或 $B\supset A$，如果不是，记为：$A\not\subset B$ (另一种常见记法是 $A⫋B$)

相等

集合 $A$ 的每个元素与集合 $B$ 相同（无论顺序是否一致），记为 $A=B$

运算

两个集合相交的元素，可记为：$A\cap B=\{x|x\in A,且x\in B\}$
$A=\{1,2,3\}$, $B=\{2,3,4\}$，则 $A\cap B=\{2,3\}$

合并两个集合，可记为：$A\cup B=\{x|x\in A,或x\in B\}$
$A=\{1,2\}$, $B=\{2,3\}$，则 $A\cup B=\{1,2,3\}$

在全集 $U$ 的范围内，除了 $A$ 以外剩下的部分，称为补集，记作 ${\complement }_{U}A$
全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,2\}$，则 $A$ 的补集是 $\{3,4,5\}$

常见集合

在数学中用字母定义了一些常用的集合：

符号	含义
$\mathbb{N}$	自然数集 $(0,1,2\cdots )$
$\mathbb{Z}$	整数集 $(\cdots ,-1,0,1\cdots )$
$\mathbb{Q}$	有理数集（分数、整数）
$\mathbb{R}$	实数集（数轴上所有的点）

引出

集合的本源思想来自于人类的分类本能，一种对事物的分类规则.

并不是所有东西都能随便组成集合

上述提到的是朴素集合论，会产生罗素悖论（理发师悖论）的矛盾.为解决这类问题，建立了现代有公理化的集合论，剔除一些逻辑陷阱的集合.