洛伦兹变换

引入

经典力学用伽利略变换联系两个惯性系的时空坐标（ $x^{'} = x - v t, t^{'} = t$ ）。但伽利略变换与光速不变原理矛盾。洛伦兹变换是满足相对论两个基本假设的正确时空坐标变换。

定义

洛伦兹变换是联系两个惯性参考系的时空坐标变换，满足光速在所有惯性系中不变的约束。

设参考系 $S^{'}$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴方向相对于 $S$ 运动：

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = γ (x - v t) y^{'} = y z^{'} = z t^{'} = γ (t - \frac{vx}{c ^{2}})

其中洛伦兹因子 $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ 。

当 $v ≪ c$ 时， $γ \approx 1$ ，洛伦兹变换退化为伽利略变换：

x^{'} \approx x - v t, t^{'} \approx t

日常速度远小于光速，所以经典力学在低速下是足够好的近似。

时间膨胀： $S^{'}$ 系中静止的钟（ $Δ x^{'} = 0$ ），在 $S$ 系中测量：

Δ t = γ Δ t_{0} > Δ t_{0}

运动的钟走得慢。

长度收缩： $S^{'}$ 系中静止的棒（固有长度 $L_{0}$ ），在 $S$ 系中测量：

L = \frac{L _{0}}{γ} < L_{0}

运动方向上的长度缩短。

两个速度的相对论叠加：

u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}}

当 $u^{'} = c$ 时， $u = c$ ——无论怎样叠加，速度不会超过光速。

洛伦兹变换的深层结果：质量和能量等价。

E = m c^{2} = γ m_{0} c^{2}

静止能量 $E_{0} = m_{0} c^{2}$ 。核反应中的质量亏损 $Δ m$ 释放能量 $Δ E = Δ m \cdot c^{2}$ ，这是核素放射性和核能释放的物理来源。

重元素的相对论效应：第六周期元素（如 Au, Hg, Tl, Pb）的 $6 s$ 电子速度接近光速，有效质量增大，轨道收缩。这解释了金的黄色（ $5 d \to 6 s$ 跃移入可见光区）和汞的低熔点
精确计算：对重元素的量子化学计算（如 DFT）需要加入相对论修正

洛伦兹变换将时间和空间统一为四维时空。闵可夫斯基时空几何是广义相对论（引力 = 时空弯曲）的起点，但那已经超出了日常化学应用的范围。

对于化学而言，狭义相对论的重要性主要体现在重元素的电子结构修正上。