力学单位制

引入

为什么物理公式里的系数有时候是 1，有时候是 $k$ 或 $G$？

为什么用不同单位算同一道题，结果数值不同但物理结论相同？

单位检查真的能发现公式错误吗？

力学单位制是把长度、质量、时间三个基本量固定下来，其他力学量都由它们导出。理解了这一点，就能明白为什么有些公式“天生”没有系数，也能用单位快速检验结果。

正文

定义

单位制是基本单位和导出单位的集合。力学中常用国际单位制（SI），以米、千克、秒为基本单位。

三个基本单位

基本量	单位	符号
长度	米	$\mathrm{m}$
质量	千克	$\mathrm{kg}$
时间	秒	$\mathrm{s}$

其他力学单位都是这三个的组合，称为导出单位。

常见导出单位

物理量	单位	用基本单位表示
速度	$m/s$	$\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$
加速度	$m/{\mathrm{s}}^2$	$\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$
力	牛顿 $\mathrm{N}$	$\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$
功、能量	焦耳 $\mathrm{J}$	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$
功率	瓦特 $\mathrm{W}$	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-3}$
压强	帕斯卡 $\mathrm{Pa}$	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$
动量	—	$\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$
角速度	$rad/s$	${\mathrm{s}}^{-1}$

牛顿的定义直接来自 $F=ma$：使 $1\mathrm{kg}$ 的物体产生 $1m/{\mathrm{s}}^2$ 加速度的力为 $1\mathrm{N}$。所以 $F=ma$ 在国际单位制中没有比例系数。

为什么有的公式有系数

公式的形式取决于单位制的选择。

以库仑定律为例，在国际单位制中：

$$F=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}$$

必须保留 $k$，因为电荷的单位（库仑）是独立定义的。

如果改用高斯单位制，电荷由力学单位导出，$k$ 就等于 1：

$$F=\frac{q_1{q}_2}{r^2}$$

单位制	库仑定律形式	电荷单位
国际单位制	带 $k$	独立定义（库仑）
高斯单位制	无 $k$	由力学单位导出

同理，万有引力定律中的 $G$ 存在，是因为质量单位独立于长度和时间。如果人为规定 $G=1$，质量就能由长度和时间导出。

量纲分析

每个物理量都可以表示成基本量幂次的乘积，称为量纲：

$$[\text{力}]=[\mathrm{M}][\mathrm{L}][\mathrm{T}{]}^{-2}$$

量纲分析的用法：

用法	说明
检验公式	等式两边量纲必须相同
推测关系	由量纲组合猜出公式形式（差一个无量纲常数）
单位换算	通过量纲换算不同单位制

例：检验 $s=\frac{1}{2}a{t}^2$：

$$[\mathrm{L}]=[\mathrm{L}][\mathrm{T}{]}^{-2}\cdot [\mathrm{T}{]}^2=[\mathrm{L}]$$

两边一致。

量纲分析的局限

量纲分析只能排除错误，不能证明正确：

情况	量纲分析能否发现
单位不统一	能
公式多了一个无量纲因子	不能
三角函数参数写错	不能
物理意义错误但量纲一致	不能

例如 $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$ 和 $E_k=m{v}^2$ 量纲相同，但只有前者正确。系数需要实验或推导确定。

国际单位制与工程单位制

不同领域常用不同单位制：

单位制	力的单位	质量单位	特点
国际单位制	牛顿	千克	质量是基本量
工程单位制	千克力（$\mathrm{kgf}$）	工程质量单位	力是基本量

$1\mathrm{kgf}=9.8\mathrm{N}$，是 $1\mathrm{kg}$ 物体在地表所受的重力。工程单位制在旧教材和部分工程领域仍可见到。

常见误区

错误说法	问题
“单位只是标注”	单位参与运算，必须统一
“公式中的系数可以随便改”	系数由单位制决定
“量纲相同就一定是同一个物理量”	功和力矩量纲相同，但物理意义不同
“国际单位制中不需要任何系数”	只有导出单位与基本单位匹配时才无系数

引出

功和力矩量纲相同，为什么不能混用？

如果重新定义光速为单位，长度和时间的关系会怎样变化？见国际单位制基本单位。

量纲分析如何帮助回忆忘记的公式？