万有引力定律

引入

苹果落地和月亮绕地球转，是同一个原因吗？

为什么能通过卫星的轨道周期算出地球质量？

为什么说“黄金代换式”是一个近似？

牛顿把地上的落体和天上的行星统一到一条规律下，这是物理学史上最重要的一次统一。万有引力定律的形式很简单，但它是天体质量测量、卫星轨道计算的基础。

定义

万有引力定律：两个质点之间的引力与它们质量的乘积成正比，与距离的平方成反比，方向沿两质点的连线： $F = G \frac{m _{1} m _{2}}{R ^{2}}$

其中 $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ 是引力常量。

$R$ 的定义最容易出错。卫星距地面高度 $h$ 时， $R = R_{地} + h$ ，不是 $h$ 。

地表附近，重力近似等于万有引力：

m g = G \frac{M m}{R ^{2}}

消去 $m$ ：

g = \frac{GM}{R ^{2}}

这说明重力加速度由中心天体质量和半径决定，与下落物体质量无关。月球表面 $g$ 约为地球的 $1/6$ ，因为月球质量和半径都更小。

由 $m g = G \frac{M m}{R ^{2}}$ 变形得：

GM = g R^{2}

这个式子称为黄金代换式。已知天体表面重力加速度和半径，就能求 $GM$ ，进而求质量：

M = \frac{g R ^{2}}{G}

适用条件：物体在天体表面附近，且忽略自转影响。自转较快时，赤道处的重力会明显小于引力。

卫星绕天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：

G \frac{M m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r

解得：

M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}

只需知道卫星的轨道半径和周期，就能求中心天体质量。这是测量恒星、行星质量最常用的方法。

方法	已知量	适用场景	局限
黄金代换	$g$ 、 $R$	有表面重力数据的天体	需忽略自转
环绕法	$r$ 、 $T$	有卫星或伴星的天体	需观测到环绕运动

第一宇宙速度由 $G \frac{M m}{R ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{R}$ 得 $v = GM / R$ 。

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