参考系

引入

坐在行驶的火车里看窗外的树，树在往后退；站在地面看同一棵树，它不动。同一个物体，为什么会有两种描述？

计算地球绕太阳公转时，为什么可以把地球当成一个点？

描述运动必须先回答“相对于谁”。没有参考标准，位置、速度、加速度都无法定义。参考系解决这个问题，坐标系把这个标准变成可计算的数字，质点模型则决定哪些细节可以先忽略。

这三件事是所有运动学公式的前提。公式本身不难，难的是选错参考系或漏掉“质点”这个前提。

正文

定义

参考系是为描述物体运动而选定的参照物体或物体群。同一运动在不同参考系中可以有不同描述。

质点

定义

当物体的形状、体积对所研究的问题影响可以忽略时，可把物体看成一个带质量的点，称为质点。

质点是一个理想模型，不是“物体变小了”。地球绕太阳公转时，地球直径远小于轨道半径，可以当质点；研究地球自转时，就不能。

判断能否用质点，看的是所研究的问题，不是物体本身的大小。

坐标系

选定参考系后，还要用坐标把位置量化。常用三种：

坐标系	适用场景	特点
笛卡尔坐标系	直线运动、抛体运动、受力分析	各轴方向固定，矢量分解方便
极坐标系	圆周运动、有心力问题	用 $r$ 和 $\theta$ 描述，旋转问题更简洁
自然坐标系	轨迹已知的曲线运动	沿轨迹建立切向和法向，直接对应速度、加速度方向

笛卡尔坐标系

定义

又名直角坐标系，由两条（或三条）过原点相互垂直的坐标轴构成，任意点的位置由各轴上的坐标确定。

推广到三维笛卡尔坐标系

¹

任意两点的距离由勾股定理给出：

$$d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$$

极坐标系

笛卡尔坐标系在描述位移、速度、受力时很方便，但描述旋转时很麻烦。旋转问题通常改用极坐标。

定义

用原点到点的距离 $r$（半径）和原点到点方向与极轴的夹角 $\theta$ 作为参数表示点的坐标。

自然坐标系

自然坐标系 把坐标轴建立在轨迹上，专门处理曲线运动。

引出

自然坐标系不是一个非惯性参考系。它虽然把 $\vec{a}$ 分解为两个正交分量 ${\vec{a}}_n$ 和 ${\vec{a}}_t$，但这两个方向都对应实际存在的力或运动趋势，不是虚拟力。

同一运动在不同参考系中加速度是否相同？什么时候必须引入惯性力？

Footnotes

1. 图像来源：wikimedia commons，作者：Memnod，CC BY-SA 4.0 ↩