自然坐标系

引入

在中国物理学使用的坐标系，用于简化描述曲线运动

正文

定义

自然坐标系是一种局部坐标系，其坐标轴建立在运动质点的轨迹上，并随质点的运动而变化。它适用于质点运动轨迹已知的情形。

坐标系构建

在轨迹上任意一点$P$，建立两个相互垂直的单位矢量：

1. **切向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}$：沿质点运动轨迹的切线方向，并指向质点的前进方向。
2. **法向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{n}}$：在密切平面内，垂直于切向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}$，并指向轨迹曲线的凹侧。

加速度的分解

在该坐标系下，加速度$\mathbf{a}$可分解为两个正交分量：

$$\mathbf{a}=a_t{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}+a_n{\mathbf{e}}_{\mathbf{n}}$$

切向加速度 $a_t$：加速度在切向单位矢量上的投影，表示速率变化的快慢。
计算公式：$a_t=\frac{dv}{dt}$, $a_t>0$ 时，速率增加；$a_t<0$ 时，速率减小。

法向加速度 $a_n$：加速度在法向单位矢量上的投影，表示速度方向变化的快慢。
计算公式：$a_n=\frac{v^2}{\rho }$ 其中 $\rho$ 是质点所在位置的曲率半径。只要轨迹是曲线 ($\rho$ 为有限值)，就存在法向加速度。

举例

以圆周运动为例：其角速度即为切向速度，其向心加速度即为法向加速度。

$$v_t=\vec{\omega }\vec{r}=v\overrightarrow{e_t},a_n=\frac{v^2}{\rho }=\frac{v^2}{r}$$

引出

自然坐标系不关心物体的位置，它注重表示物体速度的变化和方向的变化。