受迫振动

引入

推秋千时，为什么按着节奏推最省力？

为什么洗衣机脱水时会剧烈抖动，转速再高反而稳了？

受迫振动达到稳定后，振动频率由什么决定？

自由振动一旦开始，频率就固定了。受迫振动不同：外界持续提供驱动力，系统最终会“跟着”驱动力的节奏走。这正是共振的前提。

正文

定义

受迫振动是物体在周期性外力（驱动力）作用下的振动。驱动力不断向系统输入能量，补偿阻尼消耗。

运动方程

在阻尼振动的基础上加上驱动力 $F_0\cos {\omega }_{d}t$：

$$m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+kx=F_0\cos {\omega }_{d}t$$

其中 ${\omega }_d$ 是驱动力的角频率，$c$ 是阻尼系数。

两个阶段

阶段	特征
暂态过程	自由振动与受迫振动叠加，振幅不稳定，很快衰减
稳态过程	只保留与驱动力同频率的振动，振幅稳定

暂态持续时间取决于阻尼大小。阻尼越大，暂态越短，但稳态振幅越小。

稳态的关键结论

达到稳态后：

1. 振动频率等于驱动力频率 ${\omega }_d$，不等于系统的固有频率 ${\omega }_0$。
2. 振幅由 ${\omega }_d$、${\omega }_0$、阻尼和驱动力幅值共同决定。
3. 位移与驱动力之间存在相位差，相位差也随 ${\omega }_d$ 变化。

这解释了为什么“跟着节奏推”有效：驱动力频率与系统固有频率接近时，能量输入效率最高。

振幅与频率的关系

稳态振幅：

$$A=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }_d^2{)}^2+(2\beta {\omega }_d{)}^2}}$$

其中 $\beta =c/2m$ 为阻尼系数。

驱动频率	振幅
${\omega }_d\ll {\omega }_0$	接近静态位移 $F_0/k$
${\omega }_d\to {\omega }_0$	显著增大，出现峰值
${\omega }_d\gg {\omega }_0$	趋于零，系统“跟不上”

峰值位置略低于固有频率，阻尼越大，峰越平缓、越低。峰值附近的剧烈响应就是共振。

与自由振动的对比

项目	自由振动	受迫振动
频率	固有频率	驱动力频率
能量	守恒或衰减	持续由外界输入
振幅	由初始条件决定	由驱动条件和阻尼决定
相位的意义	初始位置	与驱动力的滞后关系

引出

共振时振幅为什么会趋于无穷？实际系统中为什么不会真的无穷大？

阻尼大小如何影响共振峰的宽度和高度？

为什么士兵过桥要便步走，而不是齐步走？