简谐振动

引入

弹簧振子、单摆、音叉、LC 振荡电路，形式完全不同，为什么都叫“振动”？

为什么只要回复力与位移成正比，运动就一定按正弦规律变化？

为什么简谐振动的周期与振幅无关？

简谐振动是振动里最基础的一类。它的判断标准非常干净：回复力与位移成正比、方向相反。满足这一条，运动方程的形式就被完全锁定了。

正文

定义

物体所受回复力（或加速度）的大小与位移大小成正比、方向总指向平衡位置的振动，称为简谐振动。

判定

判断一个振动是不是简谐振动，只看回复力的形式：

$$F=-kx$$

$k$ 是回复力系数，负号表示力的方向与位移方向相反。只要能把合力写成这个形式，就是简谐振动。

动力学方程

由牛顿第二定律：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$$

其中 ${\omega }^2=k/m$。

推导

$$\begin{array}{rl}m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}& =-kx\\ m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+kx& =0\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{k}{m}x& =0\\ \mathrm{令}{\omega }^2& =\frac{k}{m}，即\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+{\omega }^{2}x& =0\end{array}$$

这个方程的解就是 $x=A\cos (\omega t+\phi )$，推导过程见简谐振动的运动方程。

三个特征量

量	符号	含义	由什么决定
振幅	$A$	偏离平衡位置的最大距离	初始条件（初位移、初速度）
圆频率	$\omega$	相位变化的快慢	系统本身（$k$、$m$）
初相位	$\phi$	初始时刻的相位	初始条件

关键结论：周期由系统决定，与振幅无关。这就是摆钟能计时、且摆幅稍有变化也不影响走时的原因。

简谐振动的能量

由弹性势能和动能可得：

$$\begin{array}{rl}{E}_k& =\frac{1}{2}m{v}^2\\ & =\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t+\phi )\\ E_p& =\frac{1}{2}k{x}^2\\ & =\frac{1}{2}k{A}^2{\cos }^2(\omega t+\phi )\\ E& =E_k+E_p=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2\end{array}$$

用到了 $k=m{\omega }^2$。总能量恒定，只与振幅和系统参数有关，与时刻无关。

简谐振动的判据汇总

判据	表达式	用途
力的判据	$F=-kx$	从受力直接判断
方程判据	$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0$	从运动方程判断
能量判据	$E=\frac{1}{2}k{A}^2=\text{const}$	从能量角度判断

简谐振动的合成

同方向、同频率的叠加：两个简谐振动

$$x_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1),x_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$$

合成为同频率的简谐振动 $x=A\cos (\omega t+\phi )$，振幅和初相由矢量合成给出：

$$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)$$ $$\tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_1\cos {\phi }_1+A_2\cos {\phi }_2}$$

相位差	合振幅
$0$（同相）	$A_1+A_2$，最大
$\pi$（反相）	$|A_1-A_2|$，最小
$\pi /2$	$\sqrt{A_1^2+A_2^2}$

这是“旋转矢量法”的来源：两个同频振动对应两个匀速旋转的矢量，合成后仍是匀速旋转。

同方向、不同频率的叠加（拍）：设两振幅相同、频率接近：

$$x=2A\cos \left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t\right)\cos \left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}t\right)$$

结果是一个高频振动被一个低频包络调制。包络的频率（拍频）为：

$$f_{\text{拍}}=|f_1-f_2|$$

参数	含义
平均频率 $(f_1+f_2)/2$	听到的音调
拍频 $|f_1-f_2|$	听到的强弱起伏

调音时听到“嗡嗡”的起伏，就是拍现象。两音越接近，拍频越低，调到拍消失即同音。

相互垂直方向的叠加：两个垂直方向的简谐振动合成，轨迹由振幅比和相位差决定：

相位差	轨迹
$0$ 或 $\pi$	直线
$\pi /2$ 且振幅相等	圆
其他	椭圆

这就是李萨如图形的原理，可用于比较两个频率的比值。

引出

实例：单摆在小角度下的运动分析。

其他振动类型：受迫振动、阻尼振动、共振。

那么 $\omega$ 为什么等于 $\sqrt{k/m}$？

简谐振动的运动方程中，通过推导加速度可以得出。