简谐振动

引入

可以由动力学方程推导出动力方程

正文

定义

物体所受的力（或物体的加速度）的大小与位移的大小成正比，并且力（或物体的加速度）总是指向平衡位置

判定

简谐力

即一个质点受到的合外力

$$F=-kx$$

动力学方程

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$$

推导

由牛顿第二定律得：

$$\begin{array}{rl}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=& -kx\\ m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+kx=& 0\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=& 0\\ \mathrm{令}{\omega }^2=\frac{k}{m}，即& \\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=& 0\end{array}$$

简谐振动的能量

根据弹性势能，动能得：

$$\begin{array}{rl}{E}_k=& \frac{1}{2}m{v}^2\\ =& \frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t+\phi )\\ =& \frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\cos }^2\left[(\omega t+\phi )+\frac{\pi }{2}\right]\\ & \\ \mathrm{由}k=& m{\omega }^2得：\\ E_p=& \frac{1}{2}k{x}^2\\ =& \frac{1}{2}k{A}^2{\cos }^2(\omega t+\phi )\\ =& \frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\cos }^2(\omega t+\phi )\\ & \\ E=& E_k+E_p=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2\end{array}$$

引出

实例：单摆的运动分析

其他特殊振动：受迫振动、阻尼振动

那么 $\omega$ 为什么会等于 $\sqrt{\frac{k}{m}}$ 呢？

简谐振动的运动方程中，通过推导 $a$ 加速度可得出。