阻尼振动

引入

拨一下吉他弦，声音为什么会慢慢消失？

为什么有些车门能“一下关到底”，有些会来回弹几下？

阻尼越大越好吗？

理想简谐振动假设没有能量损失，所以会永远振动下去。现实中所有振动都会衰减，区别只在于衰减的快慢。阻尼描述的就是这种能量耗散。

正文

定义

阻尼振动是振幅随时间逐渐减小的振动。系统能量因摩擦、空气阻力、内耗等原因不断转化为热能。

运动方程

在简谐振动方程中加入与速度成正比的阻尼力 $F_d=-c\dot{x}$：

$$m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+kx=0$$

或写成标准形式：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+2\beta \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+{\omega }_0^{2}x=0$$

其中 $\beta =c/2m$ 为阻尼系数，${\omega }_0=\sqrt{k/m}$ 为固有圆频率。

三种阻尼状态

判别式由 $\beta$ 与 ${\omega }_0$ 的大小关系决定：

状态	条件	运动特征	典型应用
欠阻尼	$\beta <{\omega }_0$	振幅按指数衰减，仍来回振动	音叉、钟摆
临界阻尼	$\beta ={\omega }_0$	最快回到平衡位置且不越过	精密仪表指针、车门
过阻尼	$\beta >{\omega }_0$	缓慢回到平衡位置，不振动	某些阻尼器

临界阻尼是“最快稳定下来”的状态。仪表指针通常调到接近临界阻尼，既不过冲也不拖沓。

欠阻尼的解

$$x(t)=A_0{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }^{\prime }t+\phi )$$

其中 ${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$ 是受阻尼影响的振动角频率。

关键点：

• 振幅按 $e^{-\beta t}$ 衰减，不是线性减小。
• 振动频率 ${\omega }^{\prime }$ 略小于固有频率 ${\omega }_0$。
• $\beta$ 越大，衰减越快，频率下降越多。

品质因数

描述阻尼强弱常用品质因数 $Q$：

$$Q=\frac{{\omega }_0}{2\beta }$$

$Q$ 越大，阻尼越小，振动持续越久，共振峰越尖锐。音叉的 $Q$ 可以达到几千，而黏稠液体中的振子 $Q$ 很低。

能量衰减

欠阻尼下能量按 $E\propto e^{-2\beta t}$ 衰减。一个周期内损失的能量比例可以用 $Q$ 估算：

$$\frac{\Delta E}{E}\approx \frac{2\pi }{Q}$$

引出

阻尼振动加上周期性驱动力，会变成什么？见受迫振动。

为什么临界阻尼在实际工程中比“无阻尼”更受欢迎？

内耗、空气阻力和接触摩擦在数学上都简化成 $-c\dot{x}$，这个近似在什么条件下失效？