直线运动

引入

一辆车刹车停下，到底滑了多远？

同样是位移-时间图像，为什么有的斜线代表匀速，有的曲线代表加速？

为什么位移和路程在直线往返运动里会不一样？

直线运动是最简单的运动，但几乎所有运动学概念都能在这里第一次遇到正负号、图像和匀变速公式。把一维情形想清楚，二维、三维只是多了几个分量。

正文

定义

直线运动是轨迹为直线的运动。取这条直线为坐标轴后，位置、位移、速度、加速度都退化为带正负号的标量。

位置、位移与路程

量	定义	性质
位置 $x$	质点相对原点的坐标	依赖原点选择
位移 $\Delta x=x_2-x_1$	末位置减初位置	只依赖初末位置，可正可负
路程 $s$	轨迹的实际长度	恒为正，与路径有关

质点从 $x=2\mathrm{m}$ 走到 $x=-3\mathrm{m}$ 再回到 $x=0$：位移是 $-2\mathrm{m}$，路程是 $5+3=8\mathrm{m}$。往返运动里两者绝不相等。

只有在单向直线运动中，位移的大小才等于路程。

速度

平均速度：

$$\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

瞬时速度：

$$v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$

速度的正负表示方向，不表示大小。速率是速度的大小 $|v|$，恒为非负。

匀变速直线运动

加速度 $a$ 为常量时，有三个基本公式：

$$v=v_0+at$$ $$x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$ $$v^2-v_0^2=2a(x-x_0)$$

第三式不含时间，适合“已知位移求速度”或“已知速度求位移”的题。

运动图像

图像	斜率含义	面积含义
$x$-$t$ 图	速度 $v$	无直接物理意义
$v$-$t$ 图	加速度 $a$	位移 $\Delta x$
$a$-$t$ 图	—	速度变化量 $\Delta v$

读图的三个要点：

1. 先看坐标轴，不要凭形状猜。
2. 斜率对应哪个量，取决于纵轴和横轴。
3. $v$-$t$ 图中图线在时间轴下方的面积记为负位移。

自由落体

初速度为零、只受重力的匀加速直线运动，$a=g\approx 9.8m/{\mathrm{s}}^2$。它是匀变速公式在 $v_0=0$、$a=g$ 时的特例。

引出

匀变速公式只适用于加速度恒定的情形。加速度变化时，为什么要回到微分积分基础？

图像中的“面积”为什么等于位移？这和积分是什么关系？

二维情形下，位移、速度、加速度如何分解为两个一维问题？