导数的几何意义

引入

导数是一个数，这个数在图像上对应什么？

为什么过曲线上一点的切线方程是 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$？

法线与切线垂直，那法线的斜率为什么是 $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$ 而不是 $\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$？

正文

定义

函数 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率等于 $f^{\prime }(x_0)$，切线方程为 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

切线的来源

导数定义为割线斜率的极限：

$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

当 $\Delta x\to 0$ 时，割线上的点 $Q$ 沿曲线趋近于 $P$，割线趋于一个极限位置，这个位置就是切线。

对象	斜率	两个公共点
割线	$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$	有
切线	$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$	可能只有一个（也可能更多）

“切线与曲线只有一个交点”是错误定义。$y=x^3$ 在原点的切线与曲线交于原点，但 $y=\sin x$ 在 $x=0$ 的切线 $y=x$ 与曲线有无穷多个交点。

切线方程

设切点为 $(x_0,y_0)$，斜率为 $k=f^{\prime }(x_0)$，则

$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

已知条件	求法
切点已知	代入切点与导数
切点未知，给切线过某点	设切点 $(x_0,f(x_0))$，列方程
给切线斜率	解 $f^{\prime }(x_0)=k$ 求切点

“过某点的切线”与”在某点的切线”不同：前者该点不一定在曲线上，需要先设切点。

法线

法线与切线垂直。由 $k_1{k}_2=-1$：

$k_{\text{法}}=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$

法线方程：

$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$

注意符号是负号。常见的错误是写成正号，或写成 $\frac{1}{f^{\prime }}$。

当 $f^{\prime }(x_0)=0$ 时，切线水平，法线垂直：

$x=x_0$

这是法线方程必须单独讨论的情形。

特殊情形

情形	切线	法线
$f^{\prime }(x_0)>0$	上升	下降
$f^{\prime }(x_0)<0$	下降	上升
$f^{\prime }(x_0)=0$	水平 $y=y_0$	垂直 $x=x_0$
$f^{\prime }(x_0)$ 不存在	可能垂直 $x=x_0$	可能水平

最后一行：$y=\sqrt[3]{x}$ 在 $0$ 处导数为无穷，切线是垂直的 $x=0$。

几何应用

问题	做法
切线过原点	设切点，令切线过 $(0,0)$
两曲线公切线	设两个切点，斜率相等且切线重合
切线长度	用两点间距离
切线与坐标轴围成面积	求截距后算三角形面积

公切线问题是常考的难点：需要同时满足”斜率相等”和”切线方程相同”两个条件。

与微分的关系

切线在 $x_0+\Delta x$ 处的纵坐标为

$f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$

这正是 $f(x_0)+\mathrm{d}y$。而曲线上的实际纵坐标为 $f(x_0)+\Delta y$。

两者之差 $\Delta y-\mathrm{d}y$ 就是二阶以上的误差，见 微分。

常见误区

错误说法	问题
”切线与曲线只有一个交点”	可能多个
”法线斜率是 $\frac{1}{f^{\prime }}$“	是 $-\frac{1}{f^{\prime }}$
“过某点的切线就是该点为切点”	该点可能不在曲线上
”$f^{\prime }=0$ 时没有法线”	法线垂直，$x=x_0$
“切线一定在曲线一侧”	可能穿过曲线（如三次函数）

引出

为什么”切线与曲线只有一个交点”是错误定义？

切线与曲线相切但不穿越，这个性质对哪些函数成立？

多元函数中，切线与切平面如何对应？

• 导数：导数的定义
• 微分：切线增量
• 函数的极值：导数为零的几何意义
• 椭圆：圆锥曲线的切线
• 数学分析：数学分析的整体框架