正态分布

引入

为什么身高、体重、考试分数、测量误差，最后都”长得像”一条钟形曲线？

二项分布在 $n$ 很大时，为什么会趋近正态分布？

”$3\sigma$ 原则”里的 $99.7\%$ 是怎么来的？

正态分布是概率论中最重要的一种分布。它重要不是因为自然界”偏爱”它，而是因为大量独立随机因素叠加后，结果必然趋近正态——这是中心极限定理的内容。

正文

定义

若连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},x\in \mathbb{R}$ 则称 $X$ 服从正态分布，记作 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

两个参数的意义

参数	含义	改变它的效果
$\mu$	均值	曲线左右平移，形状不变
$\sigma$	标准差	曲线变胖变矮或变瘦变高，中心不变

$\mu$ 决定位置，$\sigma$ 决定分散程度。这是正态分布最直观的读法。

图像特征

特征	说明
对称性	关于 $x=\mu$ 对称
单峰	在 $x=\mu$ 处取最大值
渐近	两端以 $x$ 轴为渐近线
拐点	在 $x=\mu \pm \sigma$ 处
面积	曲线下总面积为 $1$

拐点的位置是理解 $\sigma$ 的关键：曲线在 $\mu \pm \sigma$ 处由”向下弯”变为”向上弯”，$\sigma$ 越大，拐点越远离中心，曲线越扁平。

标准正态分布

当 $\mu =0$、$\sigma =1$ 时，记为 $N(0,1)$，密度为

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

任意正态变量都可以标准化：

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

这一步的作用是把任意正态分布的问题化为同一张表。标准化后，只需查标准正态分布表。

$3\sigma$ 原则

区间	概率
$\mu \pm \sigma$	约 $68.3\%$
$\mu \pm 2\sigma$	约 $95.4\%$
$\mu \pm 3\sigma$	约 $99.7\%$

含义：数值落在 $\mu \pm 3\sigma$ 之外的概率只有约 $0.3\%$，属于小概率事件。工业质量控制中常用这个标准判断异常：超出 $3\sigma$ 就视为异常波动。

这三个数字不需要死记推导，但要记住它们对应的是”一倍、两倍、三倍标准差”。

中心极限定理

定理（简述）

若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立、同分布，且 $E(X_i)=\mu$、$D(X_i)={\sigma }^2$，则当 $n$ 充分大时， $\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ 近似服从 $N(0,1)$。

这条定理说明了正态分布的普遍性：不管原始分布是什么形状，只要样本量足够大，样本均值就近似正态。

原始分布	$n$ 小时	$n$ 大时
正态	已是正态	仍正态
均匀	不太像正态	近似正态
偏态	明显偏离	近似正态

注意：中心极限定理说的是”样本均值的分布”，不是”原始数据的分布”。

二项分布的正态近似

当 $n$ 很大、$p$ 不太接近 $0$ 或 $1$ 时，

$B(n,p)\approx N\left(np,np(1-p)\right)$

经验条件是 $np>5$ 且 $n(1-p)>5$。

为什么需要近似？ 因为 $n$ 很大时，$C_n^k$ 的计算量极大，而正态分布的查表要快得多。

常见误区

错误说法	问题
”$\mu$ 和 $\sigma$ 都是位置参数”	$\sigma$ 是尺度参数，改变形状
”正态分布的取值范围是 $\mu \pm 3\sigma$“	理论上取全体实数，只是外侧概率小
”数据本身一定是正态的”	中心极限定理说的是样本均值
”任何分布 $n$ 大后都变正态”	需独立同分布且方差有限
”标准化改变了分布”	只改变位置和尺度，不改变正态性

引出

为什么正态分布的密度函数里会出现 $e^{-x^2}$ 和 $\sqrt{2\pi }$？

中心极限定理对”方差无限”的分布还成立吗？

$t$ 分布、${\chi }^2$ 分布与正态分布是什么关系？

• 离散型随机变量：期望与方差
• 二项分布与超几何分布：正态近似的来源
• 随机抽样：样本均值的分布
• 用样本估计总体：用正态做区间估计
• e：密度函数中的指数
• 数学：数学学科入口