e

引入

为什么复利次数越多，收益不会无限增长，而是停在一个固定的数上？

为什么 $e$ 会出现在指数函数、对数函数、正态分布这些看起来无关的地方？

$e$ 是人为规定的，还是被”发现”的？

正文

定义

$e$ 是一个无限不循环小数， $e\approx 2.7182818284$ 它是自然对数的底，也是下列极限的值： $e={\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$

复利问题中的发现

1690 年左右，瑞士数学家雅各布·伯努利在研究复利问题时发现了这个极限。

设本金为 $1$，年利率 $100\%$，一年计息 $n$ 次，则年末本息为

${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$

$n$	年末本息
$1$	$2$
$2$	$2.25$
$3$	$2.37$
$5$	$2.488$
$10$	$2.5937$
$100$	$2.7048$
$1000$	$2.7169$
$10000$	$2.71814$

计息次数趋于无穷时，结果不趋于无穷，而是稳定在 $e$ 附近。这就是”连续复利”的极限。

${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$

为什么不会无限增长？ 因为每次计息的利率 $\frac{1}{n}$ 同步变小。次数增加带来的增益，被单次利率的减小抵消，两者恰好平衡在一个有限值。

连续复利公式

设本金 $P$、年利率 $r$、时间 $t$，连续复利下

$A=P{e}^{rt}$

推导：从离散复利 $A=P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}$ 出发，令 $x=\frac{n}{r}$，则 $n=rx$：

$$\begin{array}{rl}P\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}& =P\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{xrt}\\ & =P{\left(\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right)}^{rt}\\ & =P{e}^{rt}\end{array}$$

关键一步是把外层指数 $rt$ 提出来：因为 ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\to e$，所以它的 $rt$ 次方趋于 $e^{rt}$。

为什么叫”自然”常数

$e$ 之所以”自然”，是因为以它为底时，指数函数的导数等于自身：

${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$

若用其他底 $a$，则 $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$，多出一个因子。只有 $e$ 能让这个因子等于 $1$。

底数	导数
$2$	$2^x\ln 2\approx 0.693\cdot 2^x$
$10$	$10^x\ln 10\approx 2.303\cdot 10^x$
$e$	$e^x$

这不是人为选择，而是 $e$ 的定义决定的：$e$ 就是使 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}=1$ 成立的那个 $a$。

$e$ 的多种等价定义

形式	表达式
极限	$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$
级数	$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$
积分	${\int }_1^e\frac{\mathrm{d}x}{x}=1$
导数	$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=1$

四种定义等价，从任何一种出发都能推出其余三种。级数形式在计算中最方便，因为收敛极快。

相关极限

由 $e$ 的定义可以推出一组常用极限：

极限	值
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}$	$1$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$	$1$
$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{k}{x}\right)}^x$	$e^k$
$\underset{x\to 0}{\lim }(1+kx{)}^{1/x}$	$e^k$

这些是 特殊极限 中的内容，也是等价无穷小的来源。

出现场合

领域	形式
复利与增长	$P{e}^{rt}$
衰减过程	$e^{-\lambda t}$（放射性、药物代谢）
正态分布	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$
对数	$\ln x={\log }_{e}x$
微分方程	$y^{\prime }=ky$ 的解为 $y=C{e}^{kx}$
复数	$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

$e$ 的普遍性来自一个事实：凡”变化率与当前量成正比”的过程，解都是指数函数。人口增长、放射性衰变、电容器放电、复利，都属于这一类。

常见误区

错误说法	问题
”$e$ 是人为规定的”	由极限自然产生
”复利次数越多收益无限大”	收敛到 $e$ 倍
”$e$ 是循环小数”	是无理数，且是超越数
”任何底数的指数函数导数都等于自身”	只有 $e$
”$e\approx 2.72$ 是精确值”	是近似值

引出

为什么”变化率与当前量成正比”会导致指数函数？

$e$ 是超越数，这个结论如何证明？

$e^{i\theta }$ 与三角函数的联系从何而来？

• 特殊极限：$e$ 的极限来源
• 泰勒级数：$e^x$ 的级数展开
• 欧拉公式：$e^{ix}$ 与三角
• 正态分布：$e$ 在概率中的出现
• 导数：指数函数的导数
• 数学分析：数学分析的整体框架