特殊极限

引入

两个常见的特殊极限，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$ 这个特殊极限在很早之前就有耳闻，有初步了解.

正文

定义

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

证明： 暂时忽略

推论

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\tan u}{u}=1$

定义

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

证明： 暂时忽略

推论

相反的，当 $x\to 0$ 时，有：$\underset{x\to 0}{\lim }(1+u{)}^{\frac{1}{u}}=e$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$

引出

草稿