角

引入

角度制把一周分成 $360$ 份，这个 $360$ 是怎么来的？为什么不是 $100$ 或 $1000$？

为什么高中数学要突然改用弧度，而不是继续用角度？

$30^{\circ }$ 和 $390^{\circ }$ 的终边相同，它们算同一个角吗？

角是三角函数、解析几何、复数的共同基础。角度制与弧度制的选择不是习惯问题，而是”能不能让公式变简洁”的问题。

正文

定义

一条射线绕端点旋转形成的图形称为角。按逆时针方向旋转形成的角为正角，顺时针为负角，不旋转为零角。

角的推广

初中只研究 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 的角。引入旋转方向和旋转圈数后，角可以取任意实数：

类型	说明
正角	逆时针旋转
负角	顺时针旋转
零角	不旋转
象限角	终边落在某个象限内
轴线角	终边落在坐标轴上

终边相同的角

与角 $\alpha$ 终边相同的角构成集合

$S=\{\beta \mid \beta =\alpha +k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$

用弧度表示则为

$S=\{\beta \mid \beta =\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$

$30^{\circ }$ 与 $390^{\circ }$ 是不同的角，但终边相同。它们的三角函数值相同，所以在描述”角的位置”时等价，在描述”旋转量”时不等价。

弧度制

定义

长度等于半径的弧所对的圆心角称为 $1$ 弧度的角，记作 $1\mathrm{rad}$。

$\theta =\frac{l}{r}$

其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径。弧度是比值，所以无量纲。

角度与弧度的换算

一周对应的弧长为 $2\pi r$，所以周角为 $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$ 弧度。因此

$180^{\circ }=\pi \mathrm{rad},1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\mathrm{rad},1\mathrm{rad}=\frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57.3^{\circ }$

角度	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$
弧度	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$

为什么必须用弧度

公式	角度制	弧度制
弧长	$l=\frac{n\pi r}{180}$	$l=\theta r$
扇形面积	$S=\frac{n\pi r^2}{360}$	$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\theta r^2$
导数 $(\sin x{)}^{\prime }$	$\frac{\pi }{180}\cos x$	$\cos x$
极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$	$\frac{\pi }{180}$	$1$

关键在最后两行。若用角度制，${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi }{180}$，导数也会多出一个常数因子。弧度制让这两个式子等于 $1$，从而让所有的微积分公式保持简洁。

这不是数学上的必然，而是”弧度”这个单位恰好与弧长成正比，比例系数为 $1$。换单位等于换度量，度量的选择决定了公式的形式。

象限角与轴线角

终边位置	角的集合（弧度）
第一象限	$\left(2k\pi ,2k\pi +\frac{\pi }{2}\right)$
第二象限	$\left(2k\pi +\frac{\pi }{2},2k\pi +\pi \right)$
第三象限	$\left(2k\pi +\pi ,2k\pi +\frac{3\pi }{2}\right)$
第四象限	$\left(2k\pi +\frac{3\pi }{2},2k\pi +2\pi \right)$
$x$ 轴正半轴	$\{2k\pi \}$
$y$ 轴正半轴	$\left\{2k\pi +\frac{\pi }{2}\right\}$

注意象限角不含坐标轴上的角，轴线角单独列出。

常见误区

错误说法	问题
”$390^{\circ }$ 和 $30^{\circ }$ 是同一个角”	终边相同，角不同
”第一象限角一定是锐角”	$390^{\circ }$ 也在第一象限
”弧度是有单位的长度”	是比值，无量纲
”$1$ 弧度等于 $1^{\circ }$"	$1\mathrm{rad}\approx 57.3^{\circ }$
"角度制和弧度制可以混用”	同一式子中必须统一

引出

为什么弧度制能让 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，而角度制不能？

终边相同的角构成无限集，如何用模运算描述这个集合？

复数的辐角为什么也有”多值”问题，与终边相同的角有什么关系？

• 三角函数的几何定义：终边与单位圆的交点
• 三角恒等式：角度变换与恒等式
• 复数的三角表示：辐角的概念
• 三角函数：三角函数的整体结构
• 集合：角的集合表示
• 数学：数学学科入口