三角函数的几何定义

引入

直角三角形里的 $\sin A=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$，只能处理 $0^{\circ }\sim 90^{\circ }$ 的角。那 $150^{\circ }$、$-30^{\circ }$、$720^{\circ }$ 的正弦是什么？

为什么 $\sin$ 的图像会周期性地上下波动，而不是一条单调曲线？

为什么 $\cos \theta$ 在第二象限会变成负值，而”边长之比”永远不会是负数？

初中定义依赖”边长之比”，边长只能为正，角也只能是锐角。要把它推广到任意角，必须换一个载体——坐标。单位圆就是这个载体。

正文

单位圆定义

定义

在直角坐标系中，以原点 $O$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆称为单位圆。设角 $\alpha$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，则定义 $\sin \alpha =y,\cos \alpha =x,\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0)$

为什么用单位圆

问题	直角三角形定义	单位圆定义
角的范围	仅 $0^{\circ }\sim 90^{\circ }$	任意角（含负角、大于 $360^{\circ }$）
正负号	比值恒正	由象限坐标决定
周期性	无法体现	终边重合即函数值相同
与坐标的联系	无	直接是交点坐标

单位圆的关键在于：半径固定为 $1$，所以坐标值就等于三角函数值，不必再除以斜边。这一步把”比值”转换成了”坐标”。

各象限的符号

象限	点 $P$ 的坐标	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$
第一	$(+,+)$	$+$	$+$	$+$
第二	$(-,+)$	$+$	$-$	$-$
第三	$(-,-)$	$-$	$-$	$+$
第四	$(+,-)$	$-$	$+$	$-$

口诀”一全正、二正弦、三正切、四余弦”概括的就是这张表。它不是需要背的规则，而是坐标符号的直接结果。

单位圆定义与直角三角形定义的一致性

当 $\alpha$ 为锐角时，在单位圆中作 $P$ 到 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$，得到直角三角形 $OHP$，其中斜边 $OP=1$，对边 $PH=y$，邻边 $OH=x$。于是

$\sin \alpha =\frac{PH}{OP}=y,\cos \alpha =\frac{OH}{OP}=x$

与初中定义完全一致。所以单位圆定义不是”另一套定义”，而是原定义的推广——锐角情形下两者重合。

周期性

角 $\alpha$ 与 $\alpha +2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 的终边相同，与单位圆的交点也是同一个点，因此

$\sin (\alpha +2k\pi )=\sin \alpha ,\cos (\alpha +2k\pi )=\cos \alpha$

这就是周期性的几何来源。$2\pi$ 是正弦、余弦的最小正周期；正切因为 $\tan \alpha =\frac{y}{x}$，终边旋转 $\pi$ 时 $x$、$y$ 同时变号、比值不变，所以最小正周期是 $\pi$。

从单位圆读出性质

性质	几何解释
$|\sin \alpha |\le 1$	交点的纵坐标不超过半径
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$	交点在圆上，$x^2+y^2=1$
$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$	关于 $x$ 轴对称，纵坐标变号
$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$	关于 $x$ 轴对称，横坐标不变
振幅、周期、相位	匀速绕圆旋转的投影

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 在单位圆里就是勾股定理，这也是 三角恒等式 中”毕达哥拉斯恒等式”这个名字的由来。

三角函数线

把有向线段画进单位圆，可以直观看到函数值：

函数	对应的有向线段
$\sin \alpha$	交点 $P$ 到 $x$ 轴的有向距离（正弦线）
$\cos \alpha$	垂足到原点的有向距离（余弦线）
$\tan \alpha$	过 $(1,0)$ 的切线上被终边截出的有向线段（正切线）

正切线之所以画在 $x=1$ 的切线上，是因为 $\tan \alpha =\frac{y}{x}$，当 $x=1$ 时纵坐标恰为 $\tan \alpha$。这也解释了为什么 $\alpha \to \frac{\pi }{2}$ 时正切线无限伸长——终边趋近于与切线平行。

常见误区

错误说法	问题
”$\sin \alpha$ 是边与边的比值”	推广后是坐标值，可以为负
”单位圆定义和直角三角形定义是两套东西”	锐角时完全一致
”$\tan \alpha$ 的最小正周期是 $2\pi$“	是 $\pi$
”$\sin 30^{\circ }$ 与 $\sin 390^{\circ }$ 不同”	终边相同，值相同
”$\cos \alpha$ 一定小于 $1$“	可以等于 $1$，但不超过

引出

如果把”半径”从 $1$ 换成任意 $r$，定义会变成什么形式？

为什么要用弧度而不是角度来描述角？弧度制与单位圆有什么关系？

单位圆上的匀速圆周运动，投影到坐标轴上为什么就是简谐振动？

• 三角函数：三角函数的整体结构
• 三角恒等式：单位圆推出的恒等式
• 三角函数的复数定义：从圆到复平面的推广
• 正弦定理、余弦定理：三角形中的边角关系
• 函数的性质：周期性、奇偶性的一般讨论
• 数学分析：数学分析的整体框架