泰勒级数

引入

泰勒级数与泰勒公式的区别

泰勒级数是函数的另一种表达方式，而泰勒公式是近似一个函数.

正文

定义

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内具有任意阶导数，则 $f(x)$ 的泰勒级数定义为：
$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

麦克劳林级数

当 $x_0=0$ 时，公式简化为最常用的形式：
$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$

收敛性

级数必须收敛，才有其意义.

• 收敛半径 ($R$)： 表示级数在多大范围内有效。
• 收敛区间： 通常为 $(-R,R)$。端点 $x=\pm R$ 需单独讨论。
• 判定方法： 通常使用比值判别法计算 $R$：

${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$
则 $R=\frac{1}{\rho }$.这里的 $a_n$ 代表级数的通项.

常见泰勒级数

指数函数 (全域收敛)
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots (-\infty <x<\infty )$

正弦函数 (奇函数，只有奇次项)
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots (-\infty <x<\infty )$

余弦函数 (偶函数，只有偶次项)
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots (-\infty <x<\infty )$

对数函数 (注意收敛域)
$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots (-1<x\le 1)$

二项式级数 (幂函数的推广)
$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\cdots (-1<x<1)$
(注：当 $\alpha$ 为正整数时，这就是二项式定理，只有有限项)

引出

泰勒级数是推导欧拉公式的重要基础