欧拉公式

引入

很早就听过欧拉公式的大名，其中最有意义的还是欧拉恒等式，又名为上帝公式

当 $x=\pi$ 时，有：$e^{i\pi }+1=0$

正文

定义

对于任意实数 $x$ 都存在：$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

证明

根据泰勒级数，复数可得：

$$\begin{array}{rlr}& \mathrm{将}ix\mathrm{代入}{e}^x的展开式：& \\ & e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\cdots +\frac{(ix{)}^n}{n!}& \\ & \because i^2=-1& \\ & \therefore e^{ix}=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \right)+i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \right)& \\ & \mathrm{括号里的恰好是}\cos x\mathrm{和}\sin x\mathrm{的泰勒级数展开式}& \\ & 则：e^{ix}=\cos x+i\sin x& \end{array}$$

引出

可用欧拉公式定义三角函数