洛伦兹变换

引入

两个惯性系的坐标怎么换算，才能保证光速不变？

为什么运动的钟会走得慢，运动的尺会变短？

为什么速度叠加公式在高速下不再是简单相加？

经典力学用伽利略变换联系两个惯性系的时空坐标（$x^{\prime }=x-vt$，$t^{\prime }=t$）。但伽利略变换与光速不变原理矛盾。洛伦兹变换是满足相对论两个基本假设的正确时空坐标变换。

正文

定义

洛伦兹变换是联系两个惯性参考系的时空坐标变换，满足光速在所有惯性系中不变的约束。

变换公式

设参考系 $S^{\prime }$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴相对 $S$ 运动：

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\gamma (x-vt)\\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\\ t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)\end{array}$$

其中洛伦兹因子：

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

关键点在于时间坐标 $t^{\prime }$ 也依赖 $x$。这是与伽利略变换最本质的差别：时间和空间不再独立。

与伽利略变换的关系

当 $v\ll c$ 时，$\gamma \to 1$，且 $vx/c^2\to 0$：

$$x^{\prime }\approx x-vt,t^{\prime }\approx t$$

就回到伽利略变换。

速度	$\gamma$	与伽利略变换的偏差
$0.01c$	1.00005	可忽略
$0.1c$	1.005	0.5%
$0.5c$	1.155	15%
$0.9c$	2.294	129%
$0.99c$	7.089	609%

$v/c$ 越小，相对论修正越不重要。日常速度下 $v/c\sim 10^{-8}$，偏差在 $10^{-16}$ 量级。

时间膨胀

$S^{\prime }$ 系中同一地点发生的两件事（$\Delta x^{\prime }=0$），在 $S$ 系中测得的时间间隔：

$$\Delta t=\gamma \Delta t_0$$

其中 $\Delta t_0$ 为固有时间（在事件发生地静止的钟测得）。

因为 $\gamma >1$，所以 $\Delta t>\Delta t_0$：运动的钟走得慢。

情形	固有时间	观测时间
飞船以 $0.8c$ 飞行 1 年（船内）	1 年	1.67 年（地面）
$\mu$ 子以 $0.99c$ 运动	$2.2\mu \mathrm{s}$	$15.6\mu \mathrm{s}$

$\mu$ 子的寿命延长是时间膨胀最经典的实验证据：宇宙射线产生的 $\mu$ 子本应在到达地面前衰变完，但实际能大量到达地面。

长度收缩

$S^{\prime }$ 系中静止的棒（固有长度 $L_0$），在 $S$ 系中测得：

$$L=\frac{L_0}{\gamma }$$

缩短只发生在运动方向上，垂直方向不变。

注意“测长度”要求同时测量两端位置，而“同时”本身依赖参考系，所以长度收缩与时间膨胀是同一个现象的两个侧面。

速度叠加

两个速度的相对论叠加：

$$u=\frac{u^{\prime }+v}{1+u^{\prime }v/c^2}$$

验证光速不变：当 $u^{\prime }=c$ 时：

$$u=\frac{c+v}{1+cv/c^2}=\frac{c+v}{1+v/c}=c$$

无论 $v$ 多大，结果都是 $c$。速度不会超过光速。

$u^{\prime }$	$v$	伽利略结果	相对论结果
$0.5c$	$0.5c$	$c$	$0.8c$
$0.9c$	$0.9c$	$1.8c$	$0.994c$
$c$	$0.5c$	$1.5c$	$c$

质能关系

洛伦兹变换的深层结果：质量和能量等价。

$$E=m{c}^2=\gamma m_0{c}^2$$

静止能量 $E_0=m_0{c}^2$。

概念	表达式	说明
静止能量	$E_0=m_0{c}^2$	物体静止时的能量
总能量	$E=\gamma m_0{c}^2$	包含动能
动能	$E_k=(\gamma -1)m_0{c}^2$	低速下退化为 $\frac{1}{2}{m}_0{v}^2$

核反应中的质量亏损 $\Delta m$ 释放能量：

$$\Delta E=\Delta m\cdot c^2$$

这是核能释放的物理来源。$1\mathrm{g}$ 质量完全转化为能量约释放 $9\times 10^{13}\mathrm{J}$，相当于约 2 万吨 TNT。

四维时空

洛伦兹变换可以理解为四维时空中的“旋转”。定义时空间隔：

$$s^2=c^2{t}^2-x^2-y^2-z^2$$

这个量在所有惯性系中相同——它是不变量。时间和空间各自会变，但它们的组合不变。

量	是否随参考系改变
时间间隔	变（时间膨胀）
空间距离	变（长度收缩）
时空间隔 $s^2$	不变
光速 $c$	不变

化学关联

效应	说明
重元素的相对论效应	第六周期元素（Au、Hg、Tl、Pb）的 $6s$ 电子速度接近光速，有效质量增大，轨道收缩
金的颜色	$5d\to 6s$ 跃迁进入可见光区，吸收蓝紫光，呈黄色
汞的熔点	相对论效应使 $6s$ 轨道收缩，金属键减弱，常温为液态
精确计算	重元素的量子化学计算需加入相对论修正

常见误区

错误说法	问题
“长度收缩是物体被压扁了”	是测量结果，物体本身没有受力
“时间膨胀是钟的机械问题”	是时空性质，所有计时机制都受影响
“速度叠加永远不能超过 $c$”	是，但有静质量的物体也达不到 $c$
“相对论只适用于高速”	低速下也成立，只是退化为经典形式

引出

洛伦兹变换将时间和空间统一为四维时空。

闵可夫斯基时空几何是广义相对论的起点，但已超出日常化学应用的范围。

对于化学而言，狭义相对论的重要性主要体现在重元素的电子结构修正上。