一维无限深势阱

引入

被关在盒子里的粒子，为什么能量不能任意低？

为什么能级是 $n^2$ 的整数倍，而不是等间距的？

这个模型和量子点、共轭分子的颜色有什么关系？

一维无限深势阱是薛定谔方程最简单的可解模型。它清楚地展示了量子化如何从边界条件自然产生，而不需要任何额外假设。

正文

定义

一维无限深势阱是势能在某一区间内为零、区间外为无穷大的理想模型： $V(x)=\{\begin{array}{ll}0& 0<x<a\\ \infty & x\le 0\text{或}x\ge a\end{array}$

物理图像是把粒子“关”在宽度为 $a$ 的盒子里，它绝对无法跑到盒外。

求解

在 $0<x<a$ 内，$V=0$，定态薛定谔方程化简为：

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{x}^2}=E\psi$$

整理为标准形式：

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{x}^2}+k^2\psi =0,k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$$

通解为：

$$\psi (x)=A\sin kx+B\cos kx$$

边界条件：由于势阱外 $\psi =0$，波函数在边界处必须连续：

$$\psi (0)=0,\psi (a)=0$$

由 $\psi (0)=0$ 得 $B=0$。由 $\psi (a)=0$ 得：

$$\sin ka=0⟹ka=n\pi ,n=1,2,3,\dots$$

能级

由 $k=n\pi /a$ 与 $k^2=2mE/{\hslash }^2$ 联立：

$$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}=\frac{n^2{h}^2}{8m{a}^2},n=1,2,3,\dots$$

量子数 $n$	能量	相对基态
1	$\frac{h^2}{8m{a}^2}$	$1$
2	$\frac{4h^2}{8m{a}^2}$	$4$
3	$\frac{9h^2}{8m{a}^2}$	$9$

能级间距随 $n$ 增大而增大，与谐振子（等间距）不同。这是“盒子”边界造成的，不是普遍规律。

波函数

归一化后：

$${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$$

$n$	节点数（不含边界）	波函数形状
1	0	半个正弦波
2	1	一个完整正弦波
3	2	一个半正弦波

节点数等于 $n-1$，这是所有一维束缚态的普遍特征。

零点能

$n$ 从 1 开始，最低能量不为零：

$$E_1=\frac{h^2}{8m{a}^2}>0$$

为什么不能取 $n=0$？ 如果 $n=0$，则 $\psi =0$ 处处成立，意味着盒子里没有粒子，与前提矛盾。

为什么必须有零点能？ 由不确定性原理：粒子被限制在宽度 $a$ 内，$\Delta x\le a$，因此 $\Delta p\ge \hslash /(2a)$，动能不可能为零。

盒子越小，零点能越高。这就是量子限域效应的物理来源。

量子限域效应

把能级公式改写为依赖盒子尺寸的形式：

$$E_n\propto \frac{n^2}{a^2}$$

盒子宽度	能级间距	发光波长
大（宏观）	极小，近似连续	—
小（纳米）	显著增大	蓝移

应用：

领域	说明
量子点	颗粒越小，带隙越大，发光越偏蓝
共轭分子	共轭链越长，能级间距越小，吸收越偏红
纳米线	直径决定能级结构

共轭多烯的颜色变化可以用这个模型定性解释：$\pi$ 电子在共轭链内近似自由，链越长“盒子”越大，能级间距越小，吸收波长越长。

模型的意义

价值	说明
教学	最简单地展示量子化来自边界条件
近似	量子阱、量子点、共轭分子的简化模型
方法	分离变量、边界条件、归一化的标准流程

真实系统不会有无穷高的势垒，但有限深势阱在深束缚态下与无限深势阱近似相同。

常见误区

错误说法	问题
“基态能量为零”	$n$ 从 1 开始，零点能不为零
“能级等间距”	是 $n^2$ 关系，间距递增
“波函数在边界处不为零”	必须为零，否则势阱外也有概率
“盒子越大能级越高”	盒子越大能级越低、间距越小

引出

如果势阱深度有限，能级和波函数会如何变化？束缚态还会有无限多个吗？

为什么谐振子的能级是等间距的，而无限深势阱不是？两者势能形状的差别在哪里？

量子点的发光颜色如何通过颗粒尺寸精确调控？