薛定谔方程

引入

经典力学用牛顿方程描述粒子的运动轨迹。微观粒子具有波粒二象性，不能用确定的轨道描述，需要一个能统一处理波动性和粒子性的方程。1926 年薛定谔提出了这个方程，成为量子力学的核心工具。

化学中的分子轨道、化学键、共价键的本质，都需要通过求解薛定谔方程来理解。

正文

定义

薛定谔方程是描述微观粒子量子行为的偏微分方程，分为含时和定态两种形式。

定态薛定谔方程

当势场 $V$ 不随时间变化时，可分离时间变量，得到定态方程：

$$\hat{H}\psi =E\psi$$

其中 $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V(\vec{r})$ 为哈密顿算符，$\psi$ 为波函数，$E$ 为能量本征值。

求解思路

求解薛定谔方程 = 找到使方程成立的波函数和对应能量。不同势场下解法不同：

势场模型	对应物理系统	能量特征
一维无限深势阱	被束缚的粒子	离散能级
谐振子势	分子振动近似	等间距能级，存在零点能
库仑势	氢原子	主量子数决定能级

量子化的自然出现

能量量子化不是人为假设，而是方程在边界条件下的自然结果。只有特定能量值才能使波函数满足连续性、单值性和有限性条件。

引出

薛定谔方程是可解的少数系统有限（氢原子、谐振子、势阱等），多电子体系需要用近似方法处理。

波函数是薛定谔方程的解，理解波函数的物理意义是下一步。