冲量

引入

跳下高处时为什么要屈膝？同样落地，屈膝和直腿有什么不同？

为什么说“力可以看成冲量对时间的微分”？

碰撞时间极短，力又不断变化，怎么算它产生的效果？

生活中很少见到“瞬间的力”，看到的多是一段时间内持续作用的力所表现出的效果。冲量就是描述这种累积效应的量。

正文

定义

冲量是力对时间的累积效应，符号 $\vec{I}$，单位牛秒（$\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$）： $\vec{I}=\vec{F}\Delta t$

恒力冲量

力恒定时，冲量等于力乘以作用时间。方向与力相同。

变力冲量

当力随时间变化时，冲量由积分给出：

$$\vec{I}={\int }_t^{t+\Delta t}\vec{F}(t)\mathrm{d}t$$

原笔记在此处积分号书写有误，正确形式如上。被积函数是力，积分变量是时间。

图像意义：$F$-$t$ 图线下的面积就是冲量。面积在时间轴上方为正，下方为负。

冲量与动量

冲量等于动量的变化量，这就是动量定理：

$$\vec{I}=\Delta \vec{p}={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1$$

由牛顿第二定律的动量形式 $\vec{F}=\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t$ 两边对时间积分即可得到。

缓冲的原理

同样的动量变化，作用时间越长，平均力越小：

$$\overline{F}=\frac{\Delta p}{\Delta t}$$

场景	延长作用时间的方式	效果
跳落屈膝	增加减速时间	减小地面对人体的作用力
安全气囊	增加碰撞时间	减小乘员受力
包装泡沫	延长冲击过程	保护内部物品

缓冲不是减小动量变化，而是把同样的动量变化分摊到更长时间上。

与功的对比

项目	冲量	功
累积对象	力对时间的累积	力对空间的累积
表达式	$\int F\mathrm{d}t$	$\int F\mathrm{d}r$
改变的量	动量	动能
矢量性	矢量	标量

两者结构相似，但一个对应时间、一个对应空间，分别联系动量与动能。

引出

力可以认为是冲量对时间的微分，即 $\vec{F}=\mathrm{d}\vec{I}/\mathrm{d}t$。

为什么碰撞问题通常用冲量而不用牛顿第二定律逐时刻分析？

冲量定理在变质量问题（如火箭）中如何修正？