牛顿第二定律

引入

同样推一个箱子，为什么质量大的推起来更慢？

为什么火箭在质量不断减小时，用 $F=ma$ 会算错？

加速度方向一定和合外力方向相同吗？

牛顿第二定律是整个经典力学的计算核心。它的常见形式 $F=ma$ 只适用于质量不变的情形，一般形式是动量对时间的导数。

正文

定义

物体受到合外力作用时，加速度的大小与合外力成正比、与质量成反比，方向与合外力方向相同： ${\vec{F}}_{\text{合}}=m\vec{a}$

动量形式

更一般、更本质的形式是：

$$\vec{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(m\vec{v})}{\mathrm{d}t}$$

当质量不变时：

$$\vec{F}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\vec{a}$$

质量变化时（火箭、传送带上的落沙），必须用乘积的导数：

$$\vec{F}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}+\vec{v}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$$

这时 $F=ma$ 会给出错误结果。火箭问题中，喷出气体的反冲力正是通过 $\vec{v}\mathrm{d}m/\mathrm{d}t$ 这一项体现的。

加速度形式

$$\vec{F}=ma$$

三个要点：

1. 矢量性：加速度方向与合外力方向一致，与速度方向无关。
2. 瞬时性：力与加速度同时存在、同时消失，没有延迟。
3. 独立性：每个方向上的力只影响该方向的加速度。

分量形式

在直角坐标系中分解：

$$F_x=m{a}_x,F_y=m{a}_y,F_z=m{a}_z$$

在自然坐标系中分解：

$$F_t=m{a}_t,F_n=m\frac{v^2}{\rho }$$

切向方程管速率变化，法向方程管方向变化。曲线运动问题通常用后者求力或半径。

适用条件

条件	说明
惯性参考系	非惯性系需加惯性力
宏观低速	高速时需用相对论力学
质点或质心	刚体用质心运动定理
质量不变（用 $F=ma$ 时）	变质量问题用动量形式

解题步骤

选定研究对象
  ↓
画受力图
  ↓
选坐标系（直角或自然）
  ↓
分解力，列各方向的方程
  ↓
解方程，检验单位与合理性

选坐标系的原则是让未知量少、分解简单。斜面问题沿斜面建轴，圆周问题用自然坐标系。

常见误区

错误	问题
“合外力大的物体速度一定大”	力决定加速度，不直接决定速度
“加速度方向就是速度方向”	两者可以成任意角
“作用力消失后加速度慢慢减小”	力消失，加速度立即为零
“变质量问题仍可用 $F=ma$”	必须用动量形式

引出

其他牛顿定律：牛顿第一定律、牛顿第三定律。

变质量系统（火箭、雨滴凝聚）如何建立方程？

非惯性系中，如何通过引入惯性力让第二定律继续成立？