弹性碰撞与非弹性碰撞

引入

为什么两个相同的球正碰后交换速度？

为什么完全非弹性碰撞损失的动能最多？

碰撞时间那么短，怎么判断能量损失了多少？

两个物体碰撞时，动量守恒总是成立，因为碰撞瞬间内力远大于外力。但动能是否守恒取决于碰撞类型，这个区别决定了碰撞后速度怎么算。

定义

碰撞是两个或多个物体在极短时间内发生强烈相互作用的过程。按动能是否守恒，分为弹性碰撞和非弹性碰撞。

真实碰撞大多介于弹性和完全非弹性之间。理想弹性碰撞只在分子、原子或特定材料（如钢球）中近似成立。

设两物体质量 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ ，碰前速度 $v_{1}$ 、 $v_{2}$ ，碰后速度 $v_{1}^{'}$ 、 $v_{2}^{'}$ 。联立动量守恒和动能守恒：

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{' 2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{' 2}

解得：

v_{1}^{'} = \frac{( m _{1} - m _{2} ) v _{1} + 2 m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}

v_{2}^{'} = \frac{( m _{2} - m _{1} ) v _{2} + 2 m _{1} v _{1}}{m _{1} + m _{2}}

特殊情况：

这三种情形分别对应台球正碰、重锤敲钉子、小球撞墙。

碰后两物体粘在一起，共同速度：

v^{'} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}

损失的动能转化为内能（形变、发热、声能）：

Δ E_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}} (v_{1} - v_{2})^{2}

损失量与相对速度的平方成正比，与约化质量成正比。

e = \frac{v _{2}^{'} - v _{1}^{'}}{v _{1} - v _{2}}

其中分子是碰后分离速度，分母是碰前接近速度。

恢复系数由材料性质决定，与速度关系不大（在中等速度范围内）。钢球约 $0.95$ ，橡皮球约 $0.8$ ，黏土接近 $0$ 。

在化学反应速率的碰撞理论中：

碰撞理论给出了反应速率的上限估计。实际反应速率远小于碰撞频率，因为还需要满足能量和方向条件——这正是 Arrhenius 公式中活化能和指前因子的物理来源（见玻尔兹曼分布）。

二维、三维碰撞中动量守恒如何分方向使用？

为什么完全非弹性碰撞损失的动能最大？