机械能守恒定律

引入

过山车从最高点冲下，速度怎么算？必须逐段分析受力吗？

为什么有摩擦力时机械能“不守恒”了，能量去哪了？

机械能守恒的条件到底怎么判断？

机械能守恒是最常用的解题工具，因为它把“过程”换成了“首末两个状态”。但它有明确前提，用错条件比不会用更危险。

正文

定义

机械能是动能与势能的总和： $E=E_k+E_p$ 对只有重力和弹力做功的系统，机械能相互转化，总量保持不变。

组成部分

能量	表达式	对应力
动能	$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$	合外力做功
重力势能	$E_p=mgh$	重力做功
弹性势能	$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$	弹力做功
引力势能	$E_p=-\frac{GMm}{r}$	万有引力做功

机械能的具体形式取决于系统涉及哪些保守力。

守恒条件

守恒的充要条件是：系统内只有保守力做功，其他力不做功或做功之和为零。

按“是否做功”判断比按“有没有力”判断更准确：

情形	机械能是否守恒	原因
只有重力做功	守恒	重力是保守力
只有弹力做功	守恒	弹力是保守力
重力和弹力都做功	守恒	都是保守力
有摩擦力做功	不守恒	摩擦力是耗散力
有拉力但始终垂直于速度	守恒	拉力不做功
有外力做正功	不守恒	外界向系统输入能量

常见错误是“看到有摩擦力就认为不守恒”，或者“看到有其他力就认为不守恒”。关键看这些力是否做功、做多少功。

表达式

初态机械能等于末态机械能：

$$E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$$

动能变化等于势能变化的负值：

$$\Delta E_k=-\Delta E_p$$

一种形式（常用于多物体系统）：

$$\Delta E_A=-\Delta E_B$$

即系统内一部分机械能增加，必然等于另一部分减少。

使用步骤

明确研究对象和过程
  ↓
判断是否满足守恒条件
  ↓
选定势能零点
  ↓
写出初、末状态的机械能
  ↓
列方程求解

零点选择只影响势能数值，不影响势能差，所以可以任选方便的位置。

不守恒时怎么办

若摩擦力等耗散力做功，应使用功能关系：

$$W_{\text{其他}}=\Delta E$$

即除重力、弹力外的其他力做的功，等于机械能的变化量。摩擦力做负功，机械能减少，减少的部分转化为内能。

引出

摩擦力做功产生的内能如何计算？为什么它与路径有关？

机械能守恒与动量守恒在适用条件上有什么区别？

相对论中动能表达式改变后，机械能守恒还成立吗？