动能和动能定理

引入

为什么刹车距离与速度的平方成正比，而不是与速度成正比？

为什么同样的力作用不同距离，物体获得的速度不同？

为什么动能定理可以绕开复杂的受力过程？

功描述力对空间的累积，动量描述力对时间的累积。动能则是对应的“运动量”，动能定理把功和速度变化直接连起来，中间不需要分析加速度随时间的变化。

正文

定义

动能是物体因运动而具有的能量： $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$ 单位焦耳（$\mathrm{J}$），是标量，恒为非负。

动能的特点

特点	说明
标量	没有方向，只有大小
与速度平方成正比	速度加倍，动能变四倍
与参考系有关	不同参考系中速度不同，动能不同
恒为非负	$v^2\ge 0$

动能依赖参考系这一点常被忽略。地面观察者看车里的人有动能，车里的人看自己是静止的、动能为零。但动能定理在不同惯性系中都成立，只是各量的数值不同。

动能定理

定义

动能定理：合外力对物体做的总功，等于物体动能的变化量： $W_{\text{合}}=\Delta E_k=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$

单个力做功时：

$$W_1+W_2+\cdots =\Delta E_k$$

情形	$W_{\text{合}}$	动能变化
合力做正功	$>0$	增加
合力做负功	$<0$	减少
合力不做功	$=0$	不变

推导

由牛顿第二定律和运动学公式：

$$W=Fs=mas$$

用 $v_2^2-v_1^2=2as$ 消去 $a$：

$$W=m\cdot \frac{v_2^2-v_1^2}{2s}\cdot s=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$$

推导用的是恒力匀变速情形，但结论对变力、曲线运动同样成立——这需要用到积分，见功。

为什么刹车距离与速度平方成正比

刹车时摩擦力做负功，动能全部转化为内能：

$$-fs=0-\frac{1}{2}m{v}^2$$

解得：

$$s=\frac{v^2}{2f/m}=\frac{v^2}{2\mu g}$$

初速度	刹车距离（相对）
$v$	$1$ 倍
$2v$	$4$ 倍
$3v$	$9$ 倍

速度翻倍，刹车距离变四倍。这是限速的直接理由，也是“十次事故九次快”的物理依据。

与动量定理的对比

项目	动能定理	动量定理
累积量	功（力 × 位移）	冲量（力 × 时间）
改变的量	动能 $\frac{1}{2}m{v}^2$	动量 $mv$
类型	标量式	矢量式
适用	求位移、速度大小	求时间、速度方向

选择哪个定理，取决于题目给的是位移还是时间。

已知	优先用
位移、力	动能定理
时间、力	动量定理
碰撞、爆炸	动量守恒
高度变化、无摩擦	机械能守恒

多过程问题

动能定理的最大优势是可以跨越多个过程，只看初末状态：

$$W_1+W_2+\cdots =\frac{1}{2}m{v}_{\text{末}}^2-\frac{1}{2}m{v}_{\text{初}}^2$$

不需要逐段分析中间的加速度和速度。这是它比牛顿第二定律更省力的地方。

常见误区

错误说法	问题
“动能可以为负”	$v^2\ge 0$，动能恒非负
“速度方向改变，动能一定改变”	匀速圆周运动速率不变，动能不变
“动能定理只适用于恒力”	变力、曲线运动都成立
“动能与参考系无关”	与参考系有关

引出

为什么动能定理对变力也成立？见功中的积分形式。

动能与重力势能、弹性势能合起来构成机械能，见机械能守恒定律。

相对论中动能表达式如何修正？低速下如何退化？