频率

引入

为什么说“每秒振动 5 次”和“每次用时 0.2 秒”是同一件事？

为什么声波的频率由声源决定，传到水里后频率不变？

为什么角频率 $\omega$ 要乘上 $2\pi$，直接频率不够用吗？

频率是描述周期现象最直观的量，但它和周期、角频率之间的换算关系经常被混用。分清三者的定义和适用场合，能避免“单位对不上”的错误。

正文

定义

频率 $f$ 是某周期性现象在单位时间内重复发生的次数，单位为赫兹（$\mathrm{Hz}$）。周期 $T$ 是完成一次完整变化所需的时间： $f=\frac{1}{T}$

三个频率量

量	符号	定义	单位	关系
周期	$T$	完成一次全振动的时间	$\mathrm{s}$	—
频率	$f$	单位时间内的全振动次数	$\mathrm{Hz}$	$f=1/T$
圆频率	$\omega$	单位时间内相位的变化量	$rad/s$	$\omega =2\pi f=2\pi /T$

圆频率多一个 $2\pi$，是因为相位用弧度计量，一周对应 $2\pi$ 弧度。

常见换算

已知	求频率	求周期
每分钟 $n$ 转	$f=n/60$	$T=60/n$
圆频率 $\omega$	$f=\omega /2\pi$	$T=2\pi /\omega$
波长 $\lambda$、波速 $u$	$f=u/\lambda$	$T=\lambda /u$

最后一行是波的基本关系 $u=\lambda f$ 的变形。

频率由什么决定

系统	频率由什么决定	表达式
弹簧振子	质量、劲度系数	$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$
单摆	摆长、重力加速度	$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{l}}$
机械波	波源	与介质无关
电磁波	波源	与介质无关

共同点：频率由振源或系统固有属性决定，不随传播介质改变。波进入另一种介质时，波速和波长变化，频率保持不变。

为什么要区分频率和圆频率

• 描述“每秒多少次”用 $f$，直观，适合工程和实验。
• 描述“相位转得多快”用 $\omega$，公式简洁，适合理论推导。

例如简谐振动方程 $x=A\cos (\omega t+\phi )$ 中用 $\omega$，而说“这个音叉是 440 Hz”用 $f$。两者不能混写。

引出

为什么波从空气进入水中，频率不变而波长改变？

拍现象中，两个频率接近的振动叠加后，拍频等于两频率之差，这个结论怎么推？

多普勒效应改变的是频率还是波长？