角速度

引入

同样是转动，为什么说电风扇“每秒转 30 圈”比说“边缘每秒走过 3 米”更通用？

角速度的方向为什么要用右手定则规定，它指向哪里？

为什么角速度是赝向量，而速度是真矢量？

描述转动时，线速度依赖半径，角速度不依赖。这就是为什么转动问题优先用角量：同一刚体上各点角速度相同，线速度可以差别很大。

正文

角速率

定义

描述物体转动时单位时间内转过的角度，单位是弧度每秒（$rad/s$）。 $\omega =\frac{\Delta \theta }{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}$

旋转一周对应 $2\pi$ 弧度，因此：

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$$

其中 $T$ 是周期，$f$ 是频率。

角速度矢量

描述三维空间的转动时，需要用带方向的角速度 $\vec{\omega }$。

定义

大小为单位时间内转过的角度；方向由右手定则确定；它同时是一个赝向量。

右手定则的具体用法：右手四指沿转动方向弯曲，拇指所指的方向就是 $\vec{\omega }$ 的方向，即转轴方向。

方向沿转轴而不是沿运动方向，这一点常被误解。角速度描述的是“绕哪根轴转、转多快”，不是“往哪个方向飞”。

角加速度

$$\alpha =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}$$

角加速度矢量

对角速度求时间导数：

$$\vec{\alpha }=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega }}{\mathrm{d}t}$$

当 $\vec{\alpha }$ 与 $\vec{\omega }$ 同向时加速转动，反向时减速转动。

角量与线量对照

线量	角量	关系
位移 $s$	角位移 $\theta$	$s=r\theta$
速度 $v$	角速度 $\omega$	$v=\omega r$
加速度 $a_t$	角加速度 $\alpha$	$a_t=r\alpha$
质量 $m$	转动惯量 $J$	—
力 $F$	力矩 $M$	$M=rF\sin \theta$

这张表是“平动公式换成转动公式”的对照工具。牛顿第二定律 $F=ma$ 对应转动定律 $M=J\alpha$。

为什么是赝向量

角速度由位置矢量和速度矢量叉乘得到：$\vec{\omega }=\vec{r}\times \vec{v}/r^2$。叉积的结果依赖右手定则这一人为约定，所以角速度在空间反演时方向不反向，属于赝向量。

这不是“角速度不真实”，而是说它的方向定义依赖坐标系的取向约定。

引出

日常生活中常用 RPM（revolutions per minute，每分钟转数）表示电器转速，一转等于 $2\pi \mathrm{rad}$。

角速度相同、半径不同的两点，线速度和向心加速度各差多少倍？

刚体转动时，为什么各点角速度相同，而线速度不同？