用样本估计总体

引入

为什么样本方差要除以 $n-1$ 而不是 $n$？

用样本均值估计总体均值，误差有多大？这个误差能算出来吗？

直方图的组距选得不一样，形状会变吗？

统计学的基本问题是：只观测到一部分，如何推断整体。样本均值、样本方差、频率分布是最基础的三件工具。

正文

定义

从总体中抽取的 $n$ 个个体组成样本，$n$ 为样本容量。样本的统计量（均值、方差等）用于估计总体的相应参数。

样本均值

$\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$

样本均值是总体均值 $\mu$ 的点估计。它有两个重要性质：

性质	内容
无偏性	$E(\bar{x})=\mu$
方差	$D(\bar{x})=\frac{{\sigma }^2}{n}$

$D(\bar{x})={\sigma }^2/n$ 说明了什么？ 样本量越大，样本均值的波动越小，估计越稳定。这是”多测几次取平均更准”的数学依据。

样本方差

$s^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$

为什么除以 $n-1$？

因为计算偏差时用的是样本均值 $\bar{x}$ 而不是总体均值 $\mu$。$\bar{x}$ 本身由样本决定，会”贴近”样本数据，导致 $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 系统性地偏小。除以 $n-1$ 而不是 $n$，正好补偿这个偏差，使 $E(s^2)={\sigma }^2$。

分母	结果	性质
$n$	偏小	有偏估计
$n-1$	无偏	无偏估计

$n-1$ 称为自由度：因为 $\sum (x_i-\bar{x})=0$，$n$ 个偏差中只有 $n-1$ 个可以自由变化。

频率分布直方图

概念	定义
组距	每个分组的宽度
频率	该组频数 / 样本容量
频率/组距	直方图的纵坐标

纵坐标为什么是”频率/组距”而不是”频率”？ 因为直方图的面积要表示频率：面积 = 组距 × (频率/组距) = 频率。所有矩形面积之和为 $1$。

组距变化	效果
变小	图形更细致，但随机波动明显
变大	图形更平滑，但细节丢失

组距的选择没有唯一答案，需要在”细节”和”稳定”之间权衡。

用样本估计总体

总体参数	样本估计量
均值 $\mu$	$\bar{x}$
方差 ${\sigma }^2$	$s^2$
比例 $p$	样本频率 $\hat{p}$
中位数	样本中位数

点估计只给一个数，不说明可靠程度。要说明可靠性，需要区间估计。

抽样误差与标准误

$SE=\frac{s}{\sqrt{n}}$

标准误描述”样本均值与总体均值的典型偏差”。

样本量	标准误	含义
$n=100$	$s/10$	较大
$n=10000$	$s/100$	较小

标准误按 $\sqrt{n}$ 缩小：要让误差减半，样本量要变成 $4$ 倍。这是抽样调查成本估算的基本依据。

常见误区

错误说法	问题
”样本方差除以 $n$“	应除以 $n-1$，否则有偏
”样本量越大，样本一定越有代表性”	还需随机抽样
”直方图纵坐标是频率”	是频率/组距
”标准误随 $n$ 线性减小”	按 $\sqrt{n}$ 减小
”样本均值一定等于总体均值”	只是无偏，不是相等

引出

为什么自由度是 $n-1$ 而不是 $n$？

区间估计如何利用标准误构造置信区间？

如果样本不是随机抽取的，这些估计量还有意义吗？

• 随机抽样：如何保证样本有代表性
• 正态分布：样本均值的分布
• 皮尔逊积矩相关系数：两变量的关联
• 线性回归：用样本拟合关系
• 应用数学：应用数学的整体框架
• 数学：数学学科入口