无穷小与无穷大

引入

“无穷小”“无穷大”和“无穷小量”“无穷大量”的定义相同吗？

在主流的微积分中把这些概念混用，因为 $\epsilon -\delta 定义$ 有深厚的数学发展基础，现在主流讨论的微积分建立在标准分析.但我认为“无穷小量”“无穷大量”可以让位给非标准分析，因“无穷小量”“无穷大量”在语意上可理解为静态的具体一个数，和非标准分析的定义相符合.至于“无穷小”“无穷大”是一个过程，则和 $\epsilon -\delta 定义$ 的不断趋近的性质相符合.

在1960年代，亚伯拉罕·罗宾逊发现了对“无穷小”数的一个条理清晰的定义，但正如其名“非标准分析”所暗指的，这套理论还没有成为数学界的主流部分——《牛津通识读本：数学》蒂莫西·高尔斯.

正文

无穷小

定义

如果一个函数 $f(x)$ 的 $x$ 当 $x\to x_0$ （或 $x\to \infty$）时值趋近于 $0$，则认为函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ （或 $x\to \infty$）的无穷小.¹

性质

有限个无穷小的代数和仍为无穷小.

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.

暂时忽略

无穷大

定义 1

设函数 $(x)$ 的 $x_0$ 在某一去心邻域上有定义，任意给定一正数 $M$，总有常数 $\delta$，使得适合 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$ 对应函数值满足：$|f(x)|>M$,则认为函数 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷大，记作：$\lim f(x)=0$.

定义 2

设函数 $(x)$ 的 $x_0$ 在大于某一正数上有定义，任意给定一正数 $M$，总有正数 $X$，使得适合 $|x_0|>|X|$ 的 $x$ 对应函数值满足：$|f(x)|>M$,则认为函数 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷大.

性质

暂时忽略

引出

无穷小乘上无穷大？

具体乘积是无穷小，是无穷大，还是 1 或 0，可看极限的运算法则的内容.

Footnotes

1. 直接使用了函数的极限的定义，省去了精确的表述. ↩