极限的运算法则

引入

正文

定义

定理一：如果有 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$,那么： $$\begin{gathered} \lim [f(x)\pm g(x)]= \\ limf(x)\pm \lim g(x)=A\pm B \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \lim [f(x)\cdot g(x)]= \\ limf(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B \end{gathered}$$
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$

定义

定理二：有界函数与无穷小的和是无穷小

定义

定理三：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论：常数与无穷小的乘积是无穷小
推论：有限个无穷小的乘积是无穷小

计算思路

如：$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$

好用的性质：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.

直接带入 x 趋向的值（$\infty$）$f(x)$:

1. 若常数 k,即为存在
2. 若为 $\infty$，不存在
3. 未定式，选类型

类型一

$\frac{0}{0}$ 洛必达法则；使用等价无穷小进行代换

类型二

$\frac{\infty }{\infty }$ 洛必达法则；找分子分母的最高次幂：

1. $\infty$ 分子大于分母
2. k （系数比） 分子等于分母
3. 0 分子小于分母

类型三

$\infty \pm \infty$ 分母通分，根式有理化

类型四

$0\cdot \infty$ 转换为分式 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 的形式，将其中的一个变为倒数，放在分母上，如 $\frac{0}{\frac{1}{\infty }}$

类型五

特殊极限

引出

草稿