极限的运算法则

引入

为什么求极限的第一步永远是”先代入看看”？

代入后得到 $\frac{0}{0}$，为什么这个结果不是答案，也不是错误？

五种未定式分别对应哪些变形手段？

正文

定理（四则运算）

若 $\lim f(x)=A$、$\lim g(x)=B$（$A$、$B$ 为有限数），则 $\lim \left[f(x)\pm g(x)\right]=A\pm B$ $\lim \left[f(x)\cdot g(x)\right]=A\cdot B$ $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$

使用前提

前提	说明
两个极限都存在	若有一个不存在，定理不适用
极限为有限数	$\infty$ 不是数，不能直接运算
分母不为零	$B\ne 0$

“极限存在”包括存在且有限。$\lim \frac{1}{x}=\infty$ 在严格意义上表示”极限不存在（但是无穷大）“。

无穷小的运算性质

性质	内容
有限个无穷小的和	仍是无穷小
有界函数 × 无穷小	仍是无穷小
常数 × 无穷小	仍是无穷小
有限个无穷小的积	仍是无穷小

第二条最常用：$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$，因为 $\sin \frac{1}{x}$ 有界，$x$ 是无穷小。

$x\to 0$ 时 $x\to 0$，$|\sin (1/x)|\le 1$，所以乘积趋于 $0$。

计算流程

步骤	操作	结果
1	直接代入	得数则结束
2	得 $\frac{0}{0}$ 等未定式	进入变形
3	得 $\frac{c}{0}$（$c\ne 0$）	极限为无穷，不存在
4	得 $\infty \pm \infty$ 等	进入变形

第 3 条容易误判：$\frac{1}{x}$ 当 $x\to 0$ 时趋于无穷，这不是未定式，而是”极限不存在（无穷）“。

五种未定式与对策

类型一：$\frac{0}{0}$

手段	适用
因式分解、约分	多项式
有理化	含根式
等价无穷小替换	乘除结构
洛必达法则	可导且结构简单
泰勒展开	高阶抵消

类型二：$\frac{\infty }{\infty }$

$k=\lim \frac{f(x)}{g(x)}$

比较分子分母的最高次：

次数关系	极限
分子次数 > 分母	$\infty$
分子次数 = 分母	最高次系数之比
分子次数 < 分母	$0$

也可用 洛必达法则 或 无穷大的比较 中的抓大头原则。

类型三：$\infty -\infty$

手段	适用
通分	分式相减
有理化	根式相减
提取公因子	多项式相减

例如 $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$，分子有理化后得 $\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\to \frac{1}{2}$。

类型四：$0\cdot \infty$

转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$：把其中一个因子取倒数移到分母。

$f\cdot g=\frac{f}{1/g}\text{或}\frac{g}{1/f}$

选择移到哪个：看哪个更容易求导，通常把”简单”的那个移到分母。

类型五：幂指型

$1^{\infty }$、$0^0$、${\infty }^0$ 型，统一取对数：

$\lim f^g=\exp \left(\lim g\ln f\right)$

详见 特殊极限 与 洛必达法则。

判断流程图

代入
 ├─ 得有限数 → 结束
 ├─ c/0 (c≠0) → 无穷，极限不存在
 ├─ 0/0 → 因式分解 / 等价无穷小 / 洛必达 / 泰勒
 ├─ ∞/∞ → 比较最高次 / 洛必达
 ├─ ∞-∞ → 通分 / 有理化
 ├─ 0·∞ → 转化为 0/0 或 ∞/∞
 └─ 幂指型 → 取对数

常见误区

错误说法	问题
”极限的四则运算总成立”	需两个极限都存在且有限
”$\frac{c}{0}$ 是未定式”	是无穷，极限不存在
”未定式一定有极限”	可能不存在
"$\infty -\infty =0$"	是未定式
”先变形再代入是多余的”	直接代入是判断类型的第一步

引出

为什么 $\frac{c}{0}$ 不是未定式，而 $\frac{0}{0}$ 是？

未定式的”不定”体现在哪里？

为什么所有的未定式最终都能化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$？

• 函数的极限：极限的定义
• 无穷小与无穷大：概念与性质
• 无穷小的比较：等价替换
• 洛必达法则：未定式的通用手段
• 特殊极限：幂指型
• 数学分析：数学分析的整体框架