函数的极限

引入

芝诺的阿喀琉斯与乌龟悖论：阿喀琉斯和乌龟赛跑，他先以乌龟目前的位置 $P_1$ 为目标，当他到达了 $P_1$ 时，乌龟必定向前行进一定距离，这时乌龟在 $P_2$，当他以新的点为目标，到达后又会产生新的位置，在逻辑上阿喀琉斯需要完成无限个目标，其花费的时间是无限的，这意味他永远也无法追上乌龟.

数学家对于数列的极限明确定义在很早之前就得出，但和函数的极限定义相关的去心邻域经过了一百多年才确定下来，在 1820 年左右由柯西提出.

数列的极限定义不能直接用于函数的极限定义，为什么？

因函数具有稠密性，数列有具体实数 $n\in N$，我们可以讨论 $x_n$ 以及 $x_{n+1}$ 的值，但我们无法讨论紧邻 $x$ 的下一个数是多少.

正文

自变量趋向于有限时函数的极限

定义

设函数 $f(x)$ 的 $x_0$ 在某一去心邻域中有定义，有一常数 $A$，对于任意给定的正数 $\epsilon$，总有一个正数 $\delta$ 使得 $x$ 满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的函数 $f(x)$ 满足：$|f(x)-A|<\epsilon$，那么常数 $A$ 为 函数 $f(x)$ 的 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的极限，记作：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$.

数学表示：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\iff \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,当0<|x-x_0|<\delta ,有|f(x)-A|<\epsilon$$

自变量趋向无穷大时函数的极限

定义

设 函数 $f(x)$ 的 $|x_0|$ 大于某一正数时有定义，有一常数 $A$，对于任意给定的正数 $\epsilon$，总有一个正数 $X$ 使得 x 满足 $|x|<X$ 时有 $|f(x)-A|<\epsilon$，那么常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 的 $x$ 趋向于无穷大时的极限：记作：$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$.

数学表示：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A\iff \forall \epsilon <0,\exists 正数X,当|x|<X时，有|f(x)-A|<\epsilon$$

epsilon-delta 来历

定义：当 $x\to c$，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=a$

旧思维：让 $x$ 向 $c$ 靠近，观察 $f(x)$ 是否也同时靠近 $a$，但由于我们无法对每一个 $x$ 值给出肯定的答案——它对应的 $f(x)$ 都在靠近，这个过程本身就无法连续.

柯西的思路：任意给定一个 $\epsilon >0$,要求 $|f(x)-a|<\epsilon$，那么如果我能在 $c$ 点范围找到一个开区间 $(c-\delta ,c+\delta )$，只要 $x$ 在这个范围内（$x\ne c$），我就能保证 $|f(x)-a|$ 距离小于你给出的 $\epsilon$，这样可得出结论：只要满足以上思路，可认为 $a$ 为 $x$ 趋近于 $f(x)$ 的极限.

解决的难题

回避了无穷小数的模糊定义.

解决了芝诺的悖论：

设初始时乌龟在位置 $x_2(0)=S$，阿喀琉斯在位置 $x_1(0)=0$。速度为常数 $v_1>v_2>0$。定义二者的距离为 $D(t)=x_2(t)-x_1(t)=S+v_{2}t-v_{1}t=S-(v_1-v_2)t$.
设 $t^{\ast }=\frac{S}{v_1-v_2}$.那么 $D(t^{\ast })=0$，我们要证明 $\underset{t\to t^{\ast }}{\lim }D(t)=0$
取 $\forall \epsilon >0$，由于 $|D(t)-0|=|S-(v_1-v_2)t|=(v_1-v_2)|t-t^{\ast }|$
令 $\delta =\frac{\epsilon }{v_1-v_2}$
则当 $|t-t^{\ast }|<\delta$ 时，满足 $|D(t)-0|=(v_1-v_2),|t-t^{\ast }|<(v_1-v_2)\delta =\epsilon$
另外，方程 $D(t)=0$ 有唯一解 $t=t^{\ast }$，因此阿喀琉斯在有限时间 $t^{\ast }=\frac{S}{v_1-v_2}$ 时恰好追上乌龟.

函数的性质

引出

无穷小数在函数的极限定义出来时未被定义，直到二十世纪的六十年代.

有了明确的函数的极限的定义，函数的连续性也迎刃而解.