函数的极限

引入

芝诺说阿喀琉斯永远追不上乌龟，这个论证错在哪里？

数列极限的定义为什么不能直接搬到函数上？

为什么 $\epsilon$-$\delta$ 语言要花一百多年才被接受？

正文

定义（ $x\to x_0$）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，若存在常数 $A$，使对任意给定的 $\epsilon >0$，总存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时都有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$。

定义（ $x\to \infty$）

设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某正数时有定义，若对任意 $\epsilon >0$，存在 $X>0$，当 $|x|>X$ 时都有 $|f(x)-A|<\epsilon$，则记作 $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$。

为什么数列定义不能直接搬过来

数列的极限用 $\epsilon$-$N$：$n>N$ 时 $|x_n-a|<\epsilon$。

能这样写是因为数列的下标是离散的：$n$ 有”下一个”，$n+1$ 总是明确存在。

函数不行：实数具有稠密性，$x_0$ 附近没有”下一个数”。所以必须换一种说法——不描述”从某一项之后”，而描述”在一个区间之内”。

对象	描述方式	关键参数
数列	从第 $N$ 项之后	$N$
函数	在 $x_0$ 的 $\delta$ 邻域内	$\delta$

去心邻域的意义

为什么要”去心”（$0<|x-x_0|$）？

因为极限关心的是”$x$ 靠近 $x_0$ 时 $f(x)$ 的行为”，与 $f$ 在 $x_0$ 本身取什么值无关。

情形	极限是否存在
$f(x_0)$ 无定义	可以有极限
$f(x_0)$ 与极限不同	极限仍是那个值

例如 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 无定义，但极限为 $1$。这就是”可去间断点”的来源。

柯西的思路

旧思维：让 $x$ 向 $x_0$ 靠近，观察 $f(x)$ 是否也靠近 $A$。问题是”靠近”没有精确含义，也无法对每一个 $x$ 逐一验证。

柯西的思路：把主动权交给对方。

你随便给一个精度 $\epsilon$，我都能找到一个范围 $\delta$，保证在这个范围内 $f(x)$ 与 $A$ 的差距小于 $\epsilon$。

如果能做到这一点，就说明 $f(x)$ 确实趋于 $A$。

这是一个”挑战—应答”结构：$\epsilon$ 是挑战，$\delta$ 是应答。$\delta$ 可以依赖 $\epsilon$，但不能依赖 $x$。

解决芝诺悖论

设乌龟初始在 $S$，阿喀琉斯速度为 $v_1$，乌龟为 $v_2$，$v_1>v_2$。两者距离为

$D(t)=S-(v_1-v_2)t$

令 $t^{\ast }=\frac{S}{v_1-v_2}$，则 $D(t^{\ast })=0$。

用 $\epsilon$-$\delta$ 证明 $\underset{t\to t^{\ast }}{\lim }D(t)=0$：

取 $\delta =\frac{\epsilon }{v_1-v_2}$，则当 $|t-t^{\ast }|<\delta$ 时

$|D(t)-0|=(v_1-v_2)|t-t^{\ast }|<(v_1-v_2)\delta =\epsilon$

关键在结论：阿喀琉斯在有限时间 $t^{\ast }$ 内追上乌龟。芝诺的论证把”无限个步骤”等同于”无限的时间”，而实际上无限个步骤可以压缩在有限时间内完成。

单侧极限

${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x),{\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)$

定理	内容
双侧存在	$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\iff$ 左右极限都存在且等于 $A$

这是判断分段函数在分段点极限的主要方法。

极限的局部性质

性质	内容
唯一性	极限若存在则唯一
局部有界性	极限存在 $\Rightarrow$ 某去心邻域内有界
局部保号性	$\lim f=A>0$ $\Rightarrow$ 某去心邻域内 $f>0$
归并性	函数极限可用数列极限刻画（海涅定理）

海涅定理把函数极限与数列极限连接起来，使数列的结论可以迁移到函数。

常见误区

错误说法	问题
”$\delta$ 可以依赖 $x$“	只能依赖 $\epsilon$
“极限存在要求 $f(x_0)$ 有定义”	去心邻域即可
”$\epsilon$ 越小 $\delta$ 越大”	一般 $\epsilon$ 越小 $\delta$ 也越小
”芝诺悖论说明运动不可能”	混淆了步骤数与时间
”双侧极限存在等价于左右极限都存在”	还需相等

引出

为什么 $\delta$ 不能依赖 $x$？如果依赖了会怎样？

海涅定理如何把数列极限的结论迁移到函数？

一致连续为什么要求 $\delta$ 只依赖 $\epsilon$？

• 数列的极限：离散版本
• 函数的连续性：极限与函数值的统一
• 无穷小与无穷大：用极限定义的概念
• 夹逼准则：证明极限的工具
• 区间：邻域的定义
• 数学分析：数学分析的整体框架