微积分基本公式

引入

用”分割、求和、取极限”计算 ${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x$，需要算一个复杂的和式。有没有更快的办法？

求面积（积分）和求切线（导数）看起来毫无关系，为什么能互相解决？

为什么微积分基本公式要求被积函数连续？

定积分的定义只告诉你”它是什么”，没有告诉你”怎么算”。微积分基本公式补上了这一步：只要能找到一个原函数，积分就是一个减法。

正文

定理（微积分基本定理）

若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

这个式子称为牛顿-莱布尼茨公式。

变上限积分

定义

$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$

则 ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$，即变上限积分是 $f$ 的一个原函数。

这是基本定理的第一部分：连续函数一定有原函数，而且可以用积分显式构造出来。

结论	内容
存在性	连续函数必有原函数
构造	$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 就是一个
求导	${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$
链式推广	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{u(x)}f(t)\mathrm{d}t=f(u(x))u^{\prime }(x)$

定理的第二部分

设 $F$ 是 $f$ 的任一原函数，则 $F(x)=\Phi (x)+C$。取 $x=a$ 得 $F(a)=\Phi (a)+C=C$，于是

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\Phi (b)-\Phi (a)=F(b)-F(a)$

关键在于”任一原函数”：不同的原函数只差一个常数 $C$，而相减时 $C$ 抵消，所以结果唯一。

为什么要求连续

若 $f$ 不连续，$\Phi$ 可能不可导，定理的第一部分就不成立。

条件	结论
$f$ 连续	$\Phi$ 可导且 ${\Phi }^{\prime }=f$，公式成立
$f$ 可积但不连续	$\Phi$ 连续，但可能在某些点不可导
$f$ 不可积	积分本身无意义

高中阶段遇到的函数基本都是连续的，所以这个条件通常不构成障碍；但在做题时，若遇到分段函数，需要检查分段点。

计算示例

${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$

用定义计算需要求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{3}$，两者结果一致。基本公式的价值在于把极限过程压缩为一次减法。

与不定积分的关系

对象	结果	是否带 $C$
不定积分 $\int f(x)\mathrm{d}x$	函数族 $F(x)+C$	带
定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$	一个数 $F(b)-F(a)$	不带

计算定积分时，习惯上先求不定积分，再代入上下限。但要注意：代入时不需要写 $+C$，因为它会被减掉。

常见计算错误

错误	问题
${\int }_0^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln 1-\ln 0$	在 $0$ 处无定义，是反常积分
分段函数直接代端点	需在分段点处分段计算
忘记替换上下限（换元后）	换元必须同时换限，或回代后再代入
把 ${\left[F(x)\right]}_a^b$ 写成 $F(b-a)$	是 $F(b)-F(a)$

换元与分部积分中的定积分形式

换元：

${\int }_a^{b}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(u)\mathrm{d}u$

换元后上下限必须跟着换，换完不必回代。

分部积分：

${\int }_a^{b}u\mathrm{d}v={\left[uv\right]}_a^b-{\int }_a^{b}v\mathrm{d}u$

边界项同样要代入上下限。

常见误区

错误说法	问题
”基本公式对所有可积函数成立”	需连续
”原函数必须取特定的那个”	任一原函数结果相同
”定积分结果要加 $C$“	定积分是数，不加
”换元后不用改上下限”	必须改，否则结果错误
"${\int }_a^{a}f=1$"	等于 $0$

引出

变上限积分把”积分”变成了”函数”，这能否用来定义新的函数？

为什么连续函数的原函数一定存在，但可能无法用初等函数表示？

反常积分在端点无界时，基本公式还能用吗？

• 定积分：定义与几何意义
• 定积分性质：线性与区间可加
• 不定积分：原函数的概念
• 分部积分法：乘积的积分
• 泰勒公式：用积分余项表示误差
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