目录
本页按大学《高等数学》教材的章节顺序组织，用于对照课程进度。知识本身的结构见 数学分析。
函数
极限
- 数列的极限：- 定义与收敛性
- 函数的极限：- 定义
- 无穷大的比较与无穷小的比较：阶的概念
- 无穷小与无穷大：概念界定
- 极限的运算法则：四则运算与五种未定式
- 特殊极限：两个重要极限
- 夹逼准则：存在性证明
- 洛必达法则：未定式的通用解法
- 函数的连续性：连续、间断点、一致连续
- 闭区间连续函数的性质：最值定理、介值定理、零点定理，见 闭区间上的性质
导数与微分
- 导数：差商的极限
- 导数的几何意义：切线与法线
- 单侧导数：左右导数与可导条件
- 常用导数：基本导数表
- 导数的运算法则：四则、链式、隐函数、对数求导
- 微分：线性主部与一阶形式不变性
- 微分的几何意义：切线纵坐标增量，见 微分
- 微分运算法则：见 运算法则
微分中值定理与导数应用
- 微分中值定理：罗尔、拉格朗日、柯西
- 微分中值定理中的柯西形式是洛必达法则的理论基础
- 泰勒公式：用多项式逼近函数
- 函数的单调性
- 函数的凹凸性：二阶导数与拐点
- 函数的极值：一阶与二阶判别
- 渐近线：三类渐近线的求法
不定积分
定积分
微分方程
教材后续内容，尚未整理为笔记。核心脉络：
| 类型 | 解法 |
|---|---|
| 可分离变量 | 分离后两边积分 |
| 齐次方程 | 令 化为可分离 |
| 一阶线性 | 常数变易法或积分因子 |
| 可降阶的高阶 | 逐次积分或换元降阶 |
| 常系数齐次线性 | 特征方程 |
| 常系数非齐次线性 | 特解 + 通解 |
微分方程是积分学的直接应用：每解一步都要积分一次，所以它必须排在积分之后。
引出
教材为什么把微分方程放在最后？
极限的严格定义为什么在教材中反而被弱化了？
高等数学与数学分析的区别，只是严格程度不同吗？