分部积分法

引入

$\int x{e}^x\mathrm{d}x$ 用换元法做不出来，为什么？

分部积分公式 $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$ 是从哪来的？

为什么有的积分用两次分部积分后会”绕回原点”？

换元法处理的是”复合结构”，分部积分处理的是”乘积结构”。两者覆盖了绝大多数初等函数的积分，是积分技巧的两大支柱。

正文

定理

设 $u(x)$、$v(x)$ 具有连续导数，则 $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$ 定积分形式为 ${\int }_a^{b}u\mathrm{d}v={\left[uv\right]}_a^b-{\int }_a^{b}v\mathrm{d}u$

推导

由乘积求导法则：

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

两边积分：

$uv=\int u^{\prime }v\mathrm{d}x+\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=\int v\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}v$

移项即得。分部积分就是乘积求导法则的逆用。

选 $u$ 的原则

分部积分的效果取决于把哪个因子当作 $u$（求导）、哪个当作 $\mathrm{d}v$（积分）。

原则	说明
$u$ 求导后变简单	多项式、对数、反三角
$\mathrm{d}v$ 积分后不变复杂	$e^x$、$\sin x$、$\cos x$

常用口诀”反对幂指三”，按此顺序优先取为 $u$：

顺序	类型	例
1	反三角	$\arcsin x$、$\arctan x$
2	对数	$\ln x$
3	幂函数	$x^n$
4	指数	$e^x$、$a^x$
5	三角	$\sin x$、$\cos x$

排在前面的优先作 $u$，因为求导后会更简单。

典型类型

类型	例	$u$	$\mathrm{d}v$
幂 × 指数	$\int x{e}^x\mathrm{d}x$	$x$	$e^x\mathrm{d}x$
幂 × 三角	$\int x\sin x\mathrm{d}x$	$x$	$\sin x\mathrm{d}x$
幂 × 对数	$\int x\ln x\mathrm{d}x$	$\ln x$	$x\mathrm{d}x$
幂 × 反三角	$\int x\arctan x\mathrm{d}x$	$\arctan x$	$x\mathrm{d}x$
纯对数	$\int \ln x\mathrm{d}x$	$\ln x$	$\mathrm{d}x$
纯反三角	$\int \arctan x\mathrm{d}x$	$\arctan x$	$\mathrm{d}x$

纯对数、纯反三角的积分技巧：把 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，即 $v=x$，这样能把”没有乘积”的积分转化为有乘积的形式。

循环积分

对 $\int e^x\sin x\mathrm{d}x$ 连续两次分部积分后，右侧会重新出现原积分。设

$I=\int e^x\sin x\mathrm{d}x$

两次分部后得 $I=e^x(\sin x-\cos x)/2-I$ 的形式，移项解出

$I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$

这类积分不是”算不出来”，而是”算回去”。出现这种情况时，把原积分当作未知数解方程即可。

递推公式

对 $I_n=\int {\sin }^{n}x\mathrm{d}x$，分部积分可得

$I_n=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$

这是递推关系而不是封闭公式。递推可以把高次幂逐步降为一次或二次，再套基本积分表。

定积分中的边界项

${\int }_a^{b}u\mathrm{d}v={\left[uv\right]}_a^b-{\int }_a^{b}v\mathrm{d}u$

边界项 ${\left[uv\right]}_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$ 必须计算。这是定积分分部积分最容易漏掉的部分，尤其在 $uv$ 在端点为零时，容易误以为整个边界项不存在。

常见误区

错误说法	问题
”$u$ 和 $v$ 可以任意选”	选错会让积分更复杂
”分部积分只能用于乘积”	$\ln x$、$\arctan x$ 也可用
”循环积分说明方法失效”	移项即可解出
”定积分分部积分不用算边界项”	必须算
”分部积分一次就能解决所有问题”	高次幂需递推

引出

为什么”反对幂指三”这个顺序有效？它背后的判据是什么？

递推公式能否化为封闭形式？

分部积分与泰勒公式的积分余项有什么关系？

• 不定积分运算法则：换元法
• 常用不定积分：基本积分表
• 微积分基本公式：定积分的计算
• 泰勒公式：积分余项
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