导数的运算法则

引入

求 $y=\sin (x^2)$ 的导数，为什么不能直接写 $\cos (x^2)$？

为什么隐函数求导时，$(y^2{)}^{\prime }$ 要写成 $2y{y}^{\prime }$ 而不是 $2y$？

幂指函数 $y=x^x$ 的导数，为什么不能用幂函数或指数函数的公式？

正文

定义

导数的运算法则是把复杂函数的求导归结为基本函数求导的组合规则，包括四则运算、链式法则、隐函数求导与对数求导。

导数的四则运算

$$\begin{array}{rl}(u\pm v{)}^{\prime }& =u^{\prime }\pm v^{\prime }\\ (Cu{)}^{\prime }& =C\cdot u^{\prime }\\ (uv{)}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\end{array}$$

法则	记忆要点
和差	逐项求导
数乘	常数不变
乘积	前导后不导 + 前不导后导
商	分子：上导下不导 − 上不导下导；分母：平方

商的法则最容易记错分子顺序：是 $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$，不是 $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$。

链式法则（复合函数求导）

定理

若 $y=f(u)$、$u=g(x)$，且 $u$ 在 $x$ 处可导、$y$ 在 $u$ 处可导，则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$

多层复合时逐层乘：

$(f(g(t(x))){)}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$

因为求导时外层函数要对内层函数求导，这种求导也被称为链式法则。

例：$y=\sin (x^2)$，令 $u=x^2$，则

$y^{\prime }=\cos u\cdot 2x=2x\cos (x^2)$

漏乘 $2x$ 是最常见的错误——那相当于只算了外层。

函数	导数	易错点
$\sin (x^2)$	$2x\cos (x^2)$	漏乘内层导数
$e^{3x}$	$3e^{3x}$	漏乘 $3$
$\ln (2x+1)$	$\frac{2}{2x+1}$	漏乘 $2$
${\sin }^{2}x$	$2\sin x\cos x$	与 $\sin (x^2)$ 混淆

${\sin }^{2}x$ 与 $\sin (x^2)$ 完全不同：前者是 $(\sin x{)}^2$，后者是 $\sin$ 作用于 $x^2$。

反函数求导

若 $y=f(x)$ 的反函数为 $x=\phi (y)$，则

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}$

前提是 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\ne 0$。

这个法则解释了为什么 $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$：$y=\arcsin x$ 的反函数是 $x=\sin y$，$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$。

隐函数求导

定义

形如 $F(x,y)=0$ 的函数称为隐函数，即 $y$ 与 $x$ 的关系没有显式解出。

处理方法：同时对等式两边关于 $x$ 求导。

注意两点：

1. 当 $y$ 对 $x$ 求导时，有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^{\prime }$
2. 因 $y$ 是 $x$ 的函数，当式子中包含 $y$ 时，把该式子看作复合函数求导，如 $(e^y{)}^{\prime }=e^y\cdot y^{\prime }$

例：$x^2+y^2=1$

$2x+2y{y}^{\prime }=0\Rightarrow y^{\prime }=-\frac{x}{y}$

$y^2$ 求导得 $2y{y}^{\prime }$ 而不是 $2y$，这正是隐函数求导的核心。

对数求导法

对于形如 $y=u^v$ 的幂指函数，有两种求导方法。

方法一：两边取对数

$\ln y=\ln u^v=v\ln u$

两边对 $x$ 求导：

$\frac{y^{\prime }}{y}=v^{\prime }\ln u+v\cdot \frac{u^{\prime }}{u}$

则 $y^{\prime }=y\left(v^{\prime }\ln u+\frac{v{u}^{\prime }}{u}\right)$。

便捷性在于：对数有性质 $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$、$\ln ab=\ln a+\ln b$，把相乘或相除的运算转为相加相减，大大简化求导的复杂度。

方法二：化为指数形式

$u^v=e^{\ln u^v}=e^{v\ln u}$

再用链式法则求导。两种方法本质相同。

幂指函数的陷阱：$y=x^x$ 既不是幂函数（指数不是常数），也不是指数函数（底数不是常数），所以两个公式都不能直接用。

$y^{\prime }=x^x\left(\ln x+1\right)$

常见误区

错误说法	问题
”$\sin (x^2)$ 的导数是 $\cos (x^2)$“	漏乘内层 $2x$
"$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime }$"	应是 $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
“隐函数求导时 $y$ 当常数”	$y$ 是 $x$ 的函数
”除法法则分子顺序可换”	顺序影响符号
"$(x^x{)}^{\prime }=x{x}^{x-1}$"	幂函数公式不适用

引出

为什么链式法则在多层复合时要逐层相乘？

反函数求导与链式法则能否互相推出？

隐函数求导能否用于求二阶导数？

• 导数：导数的定义
• 常用导数：基本导数表
• 复合函数：链式法则的对象
• 微分：一阶形式不变性
• 不定积分运算法则：对数求导与凑微分的对应
• 数学分析：数学分析的整体框架